Mostre que a nova onda
da questão 5 satisfaz a equação de onda
. Por que isso acontece?
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a nova onda
da questão 5 satisfaz a equação de onda
Informações relevantes (que vou usar): a forma típica de uma “nova onda” construída em problemas como o da questão 5 é uma função dependente de combinação
, isto é, algo como
ou a soma das duas partes
Também vou usar que as funções
e
têm derivadas contínuas até segunda ordem (suponção natural para podermos derivar duas vezes). A resolução começa agora.
Passo 2
Relembre o que precisamos provar: mostrar que para
vale
Vou primeiro tratar o caso mais simples e didático:
com
. Esse caso já mostra a técnica (regra da cadeia) que se aplica ao caso geral.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia para derivada parcial em relação a
: defina
. Então
Por regra da cadeia,
Derivando novamente em
,
Aqui
e
significam primeira e segunda derivada de
em relação ao argumento
.
Passo 4
Agora derivadas parciais em relação a
. Como
,
Pela regra da cadeia,
Derivando novamente em
,
Passo 5
Compare as duas segundas derivadas que obtivemos:
Daí segue imediatamente
porque
. Logo, qualquer função do tipo
satisfaz a equação de onda.
Passo 6
Agora trato o caso mais geral
. Esse é o caso relevante porque a solução geral unidimensional da equação de onda é justamente soma de uma onda que se propaga para a direita e outra para a esquerda.
Para
já vimos que
Análogo para
temos
Somando os resultados (porque derivada é linear),
Logo novamente
Passo 7
Explico por que isso acontece, de forma conceitual e prática:
-
Regra da cadeia: funções que dependem apenas de
têm as segundas derivadas em e relacionadas por fatores de , como vimos explicitamente — é uma conta direta com a regra da cadeia. -
Linearidade da equação: a equação de onda é linear e homogênea (não tem termos dependentes apenas de
sem derivadas), então qualquer soma ou constante multiplicativa de soluções também é solução. Por isso, se e são soluções individuais, sua soma também é. -
Invariância por translação: deslocar a variável
ou (por exemplo, fazer ou ) só muda o argumento das funções, não altera a relação entre as derivadas — portanto deslocamentos (em espaço ou tempo) também preservam a propriedade de ser solução.
Fisicamente: uma onda pura que se move sem mudar de forma é descrita por um argumento
. A equação de onda traduz matematicamente o fato de que a curvatura espacial da forma da onda (segunda derivada em
) está ligada à aceleração temporal da corda/medo/linha (segunda derivada em
), com fator
que é justamente a velocidade de propagação. Se você pega a forma e a desloca no espaço/tempo ou soma duas formas que se movem, a relação local entre curvatura espacial e aceleração temporal não muda — por isso a equação continua valendo.
Passo 8
Exemplo concreto (rápido) para fixar o método: escolha
. Então
Calculando,
E novamente
. Esse exemplo numérico mostra na prática a conta que fizemos em geral.
Resposta
A nova onda
, quando é da forma
,
ou da soma
, satisfaz
porque, pelo teorema da cadeia, as segundas derivadas espaciais e temporais das funções de
estão relacionadas por um fator
, e porque a equação de onda é linear (portanto soma e escalares de soluções são soluções) e invariante por translação.