Mostre que a nova onda y^{\prime}(x, t) da questão 5 satisfaz a equação de onda \frac{\partial^{2} y^{\prime}}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} y^{\prime}}{\partial t^{2}}. Por que isso acontece?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a nova onda y^{\prime}(x,t) da questão 5 satisfaz a equação de onda
\frac{\partial^{2} y^{\prime}}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} y^{\prime}}{\partial t^{2}}.
Informações relevantes (que vou usar): a forma típica de uma “nova onda” construída em problemas como o da questão 5 é uma função dependente de combinação x\pm vt, isto é, algo como
y^{\prime}(x,t)=f(x-vt)\quad\text{ou}\quad y^{\prime}(x,t)=g(x+vt)
ou a soma das duas partes
y^{\prime}(x,t)=f(x-vt)+g(x+vt).
Também vou usar que as funções f e g têm derivadas contínuas até segunda ordem (suponção natural para podermos derivar duas vezes). A resolução começa agora.

Passo 2

Relembre o que precisamos provar: mostrar que para y^{\prime}(x,t) vale
\frac{\partial^{2} y^{\prime}}{\partial x^{2}}-\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2} y^{\prime}}{\partial t^{2}}=0.
Vou primeiro tratar o caso mais simples e didático: y^{\prime}(x,t)=f(u) com u=x-vt. Esse caso já mostra a técnica (regra da cadeia) que se aplica ao caso geral.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para derivada parcial em relação a x: defina u=x-vt. Então
\frac{\partial u}{\partial x}=1.
Por regra da cadeia,
\frac{\partial y^{\prime}}{\partial x}=\frac{d f}{d u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}=f'(u)\cdot 1=f'(u).
Derivando novamente em x,
\frac{\partial^{2} y^{\prime}}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}\big(f'(u)\big)=f''(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}=f''(u)\cdot 1=f''(u).
Aqui f'(u) e f''(u) significam primeira e segunda derivada de f em relação ao argumento u.

Passo 4

Agora derivadas parciais em relação a t. Como u=x-vt,
\frac{\partial u}{\partial t}=-v.
Pela regra da cadeia,
\frac{\partial y^{\prime}}{\partial t}=f'(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial t}=f'(u)\cdot(-v)=-v\,f'(u).
Derivando novamente em t,
\frac{\partial^{2} y^{\prime}}{\partial t^{2}}=\frac{\partial}{\partial t}\big(-v\,f'(u)\big)=-v\cdot f''(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial t}=-v\cdot f''(u)\cdot(-v)=v^{2}f''(u).

Passo 5

Compare as duas segundas derivadas que obtivemos:
\frac{\partial^{2} y^{\prime}}{\partial x^{2}}=f''(u), \qquad \frac{\partial^{2} y^{\prime}}{\partial t^{2}}=v^{2}f''(u).
Daí segue imediatamente
\frac{\partial^{2} y^{\prime}}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2} y^{\prime}}{\partial t^{2}},
porque f''(u)=\dfrac{1}{v^{2}}\big(v^{2}f''(u)\big). Logo, qualquer função do tipo f(x-vt) satisfaz a equação de onda.

Passo 6

Agora trato o caso mais geral y^{\prime}(x,t)=f(x-vt)+g(x+vt). Esse é o caso relevante porque a solução geral unidimensional da equação de onda é justamente soma de uma onda que se propaga para a direita e outra para a esquerda.
Para u=x-vt já vimos que
\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}f(u)=f''(u),\qquad \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}f(u)=v^{2}f''(u).
Análogo para w=x+vt temos
\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}g(w)=g''(w),\qquad \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}g(w)=v^{2}g''(w).
Somando os resultados (porque derivada é linear),
\frac{\partial^{2} y^{\prime}}{\partial x^{2}}=f''(u)+g''(w), \qquad \frac{\partial^{2} y^{\prime}}{\partial t^{2}}=v^{2}\big(f''(u)+g''(w)\big).
Logo novamente
\frac{\partial^{2} y^{\prime}}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2} y^{\prime}}{\partial t^{2}}.

Passo 7

Explico por que isso acontece, de forma conceitual e prática:
  1. Regra da cadeia: funções que dependem apenas de x\pm vt têm as segundas derivadas em x e t relacionadas por fatores de v^{2}, como vimos explicitamente — é uma conta direta com a regra da cadeia.
  2. Linearidade da equação: a equação de onda é linear e homogênea (não tem termos dependentes apenas de y sem derivadas), então qualquer soma ou constante multiplicativa de soluções também é solução. Por isso, se f(x-vt) e g(x+vt) são soluções individuais, sua soma também é.
  3. Invariância por translação: deslocar a variável x ou t (por exemplo, fazer f(x-vt-a) ou f(x-v(t-b))) só muda o argumento das funções, não altera a relação entre as derivadas — portanto deslocamentos (em espaço ou tempo) também preservam a propriedade de ser solução.
Fisicamente: uma onda pura que se move sem mudar de forma é descrita por um argumento x\pm vt. A equação de onda traduz matematicamente o fato de que a curvatura espacial da forma da onda (segunda derivada em x) está ligada à aceleração temporal da corda/medo/linha (segunda derivada em t), com fator v^{2} que é justamente a velocidade de propagação. Se você pega a forma e a desloca no espaço/tempo ou soma duas formas que se movem, a relação local entre curvatura espacial e aceleração temporal não muda — por isso a equação continua valendo.

Passo 8

Exemplo concreto (rápido) para fixar o método: escolha f(u)=\sin(ku). Então
y^{\prime}(x,t)=\sin\big(k(x-vt)\big).
Calculando,
\frac{\partial^{2} y^{\prime}}{\partial x^{2}}=-k^{2}\sin\big(k(x-vt)\big), \qquad \frac{\partial^{2} y^{\prime}}{\partial t^{2}}=-k^{2}v^{2}\sin\big(k(x-vt)\big).
E novamente \dfrac{\partial^{2} y^{\prime}}{\partial x^{2}}=\dfrac{1}{v^{2}}\dfrac{\partial^{2} y^{\prime}}{\partial t^{2}}. Esse exemplo numérico mostra na prática a conta que fizemos em geral.

Resposta

A nova onda y^{\prime}(x,t), quando é da forma f(x-vt), g(x+vt) ou da soma f(x-vt)+g(x+vt), satisfaz
\frac{\partial^{2} y^{\prime}}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2} y^{\prime}}{\partial t^{2}}
porque, pelo teorema da cadeia, as segundas derivadas espaciais e temporais das funções de x\pm vt estão relacionadas por um fator v^{2}, e porque a equação de onda é linear (portanto soma e escalares de soluções são soluções) e invariante por translação.

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