Dadas duas ondas y_{1}(x, t)=y_{m} \sin (k x-\omega t) e y_{2}(x, t)=y_{m} \sin (k x-\omega t+\varphi), mostre que a nova onda produzida pela interferência das duas é y^{\prime}(x, t)=2 y_{m} \cos (\varphi / 2) \sin (k x-\omega t+ \varphi / 2). O que deve acontecer com a amplitude da nova onda?

Passo 1

Dados: as duas ondas
y_{1}(x,t)=y_{m}\sin\bigl(kx-\omega t\bigr)
e
y_{2}(x,t)=y_{m}\sin\bigl(kx-\omega t+\varphi\bigr).
Perguntas: mostrar que a soma y'(x,t)=y_{1}+y_{2} pode ser escrita como
y'(x,t)=2y_{m}\cos\!\bigl(\tfrac{\varphi}{2}\bigr)\sin\!\bigl(kx-\omega t+\tfrac{\varphi}{2}\bigr),
e dizer o que acontece com a amplitude da nova onda. Informações importantes: y_{m} é a amplitude de cada onda individual, k é o número de onda, \omega é a frequência angular e \varphi é a diferença de fase entre as ondas.

Passo 2

Lembra de uma identidade trigonométrica muito útil (soma para produto): para quaisquer ângulos A e B vale
\sin A+\sin B = 2\sin\!\Bigl(\frac{A+B}{2}\Bigr)\cos\!\Bigl(\frac{A-B}{2}\Bigr).
Explicando por que isso é verdade (rápido e didático): defina u=\tfrac{A+B}{2} e v=\tfrac{A-B}{2}. Então A=u+v e B=u-v. Usando \sin(u\pm v)=\sin u\cos v\pm\cos u\sin v temos
\sin(u+v)+\sin(u-v)=\bigl(\sin u\cos v+\cos u\sin v\bigr)+\bigl(\sin u\cos v-\cos u\sin v\bigr)=2\sin u\cos v,
que é exatamente a identidade acima. Cada passo usa apenas a fórmula de seno da soma de ângulos.

Passo 3

Agora aplicamos a identidade com
A = kx-\omega t,\qquad B = kx-\omega t+\varphi.
Calculemos as médias e diferenças necessárias:
\frac{A+B}{2}=\frac{(kx-\omega t)+(kx-\omega t+\varphi)}{2}=kx-\omega t+\frac{\varphi}{2},
\frac{A-B}{2}=\frac{(kx-\omega t)-(kx-\omega t+\varphi)}{2}=-\frac{\varphi}{2}.
Usando a identidade do Passo 2:
\sin\bigl(kx-\omega t\bigr)+\sin\bigl(kx-\omega t+\varphi\bigr) =2\sin\!\Bigl(kx-\omega t+\frac{\varphi}{2}\Bigr)\cos\!\Bigl(-\frac{\varphi}{2}\Bigr).
Como \cos é função par, \cos(-\tfrac{\varphi}{2})=\cos(\tfrac{\varphi}{2}). Multiplicando por y_{m} (cada seno vinha com y_{m}) obtemos
y'(x,t)=y_{1}+y_{2}=2y_{m}\cos\!\Bigl(\frac{\varphi}{2}\Bigr)\sin\!\Bigl(kx-\omega t+\frac{\varphi}{2}\Bigr),
que é exatamente a forma pedida.

Passo 4

Interpretação física da amplitude: o fator multiplicativo à frente do seno é a nova amplitude (podendo ser positiva ou negativa):
A_{\text{resultante}}=2y_{m}\cos\!\Bigl(\frac{\varphi}{2}\Bigr).
Observações práticas e casos importantes:
  • Se \varphi=0 então \cos(\tfrac{\varphi}{2})=1 e A_{\text{resultante}}=2y_{m}: interferência construtiva máxima (amplitude dobra).
  • Se \varphi=\pi então \cos(\tfrac{\varphi}{2})=\cos(\tfrac{\pi}{2})=0 e A_{\text{resultante}}=0: interferência destrutiva total (as ondas se cancelam).
  • Em geral a amplitude física (não-signo) é \bigl|2y_{m}\cos(\tfrac{\varphi}{2})\bigr|. Se 2y_{m}\cos(\tfrac{\varphi}{2}) for negativa, isso indica apenas uma inversão de fase (o sinal pode ser absorvido como um deslocamento de \pi na fase do seno).

Resposta

y'(x,t)=2y_{m}\cos\!\bigl(\tfrac{\varphi}{2}\bigr)\sin\!\bigl(kx-\omega t+\tfrac{\varphi}{2}\bigr)
A amplitude resultante é A_{\text{resultante}}=2y_{m}\cos\!\bigl(\tfrac{\varphi}{2}\bigr) (módulo físico \bigl|2y_{m}\cos(\tfrac{\varphi}{2})\bigr|); em particular \varphi=0\Rightarrow A=2y_{m} (construtiva) e \varphi=\pi\Rightarrow A=0 (destrutiva).

Exercícios relacionados