1. (2,0 pontos) A força \vec{F}=(2,0 N) \hat{\imath}+(5,0 N) \hat{\jmath}-(8,0 N) \hat{k} age sobre uma partícula cujo vetor posição é \vec{r}=(2,0 m) \hat{\imath}-(3,0 m) \hat{\jmath}-(2,0 m) \hat{k}. Quais são (a) o torque em relação à origem a que está submetida partícula, em termos dos vetores unitários, e (b) o ângulo entre \vec{r} e \vec{F} ?

Passo 1

O enunciado dá os vetores força e posição e pede duas coisas:
  • Vetor força: \vec{F}=(2,0\\ \text{N})\hat{\imath}+(5,0\\ \text{N})\hat{\jmath}+(-8,0\\ \text{N})\hat{k}.
  • Vetor posição: \vec{r}=(2,0\\ \text{m})\hat{\imath}+(-3,0\\ \text{m})\hat{\jmath}+(-2,0\\ \text{m})\hat{k}.
    Perguntas:
    (a) Calcular o torque (momento) em relação à origem, expresso em termos dos vetores unitários \hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k}.
    (b) Calcular o ângulo entre \vec{r} e \vec{F}.

Passo 2

Entendendo o que é pedido (a): o torque \vec{\tau} em relação à origem é dado pelo produto vetorial entre \vec{r} e \vec{F}. A definição que vamos usar é
\vec{\tau} = \vec{r}\times\vec{F}.
Vou explicar como calcular o produto vetorial componente a componente: se \vec{r}=(r_x,r_y,r_z) e \vec{F}=(F_x,F_y,F_z), então
\vec{r}\times\vec{F} = \big(r_yF_z-r_zF_y\big)\hat{\imath} +\big(r_zF_x-r_xF_z\big)\hat{\jmath} +\big(r_xF_y-r_yF_x\big)\hat{k}.
Cada componente é uma determinante 2×2 obtida ao “eliminar” a linha e coluna correspondentes. Essa fórmula dá a direção e magnitude do torque (unidade \text{N}\cdot\text{m}).

Passo 3

Aplicando a fórmula do produto vetorial com os componentes dados:
Listando componentes numéricos:
r_x=2,0,\quad r_y=-3,0,\quad r_z=-2,0
F_x=2,0,\quad F_y=5,0,\quad F_z=-8,0.
Calculemos cada componente de \vec{\tau}:
Componente \hat{\imath}:
\tau_x = r_yF_z - r_zF_y = (-3,0)\cdot(-8,0) - (-2,0)\cdot(5,0).
Efetuando as multiplicações:
(-3,0)\cdot(-8,0)=24,0,\qquad (-2,0)\cdot(5,0)=-10,0.
Portanto
\tau_x = 24,0 - (-10,0) = 24,0 + 10,0 = 34,0.

Passo 4

Componente \hat{\jmath}:
\tau_y = r_zF_x - r_xF_z = (-2,0)\cdot(2,0) - (2,0)\cdot(-8,0).
Efetuando:
(-2,0)\cdot(2,0) = -4,0,\qquad (2,0)\cdot(-8,0) = -16,0.
Portanto
\tau_y = -4,0 - (-16,0) = -4,0 + 16,0 = 12,0.

Passo 5

Componente \hat{k}:
\tau_z = r_xF_y - r_yF_x = (2,0)\cdot(5,0) - (-3,0)\cdot(2,0).
Efetuando:
(2,0)\cdot(5,0) = 10,0,\qquad (-3,0)\cdot(2,0) = -6,0.
Portanto
\tau_z = 10,0 - (-6,0) = 10,0 + 6,0 = 16,0.

Passo 6

Juntando as três componentes obtemos o torque em termos dos vetores unitários:
\vec{\tau} = (34,0\\ \text{N}\cdot\text{m})\hat{\imath} + (12,0\\ \text{N}\cdot\text{m})\hat{\jmath} + (16,0\\ \text{N}\cdot\text{m})\hat{k}.
Observação rápida: a unidade \text{N}\cdot\text{m} vem de multiplicar metros por newtons nas componentes do produto vetorial.

Passo 7

Agora a pergunta (b): o ângulo entre \vec{r} e \vec{F}. Usamos o produto escalar: para vetores \vec{a} e \vec{b},
\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre eles. Assim
\cos\theta = \dfrac{\vec{r}\cdot\vec{F}}{|\vec{r}|\,|\vec{F}|}.
O produto escalar também é fácil de calcular por componentes:
\vec{r}\cdot\vec{F} = r_xF_x + r_yF_y + r_zF_z.

Passo 8

Calculemos \vec{r}\cdot\vec{F}:
\vec{r}\cdot\vec{F} = (2,0)(2,0) + (-3,0)(5,0) + (-2,0)(-8,0).
Efetuando:
(2,0)(2,0)=4,0,\quad (-3,0)(5,0)=-15,0,\quad (-2,0)(-8,0)=16,0.
Somando:
\vec{r}\cdot\vec{F} = 4,0 -15,0 +16,0 = 5,0.

Passo 9

Agora os módulos:
|\vec{r}| = \sqrt{r_x^2 + r_y^2 + r_z^2} = \sqrt{(2,0)^2 + (-3,0)^2 + (-2,0)^2} = \sqrt{4,0 + 9,0 + 4,0} = \sqrt{17}.
|\vec{F}| = \sqrt{F_x^2 + F_y^2 + F_z^2} = \sqrt{(2,0)^2 + (5,0)^2 + (-8,0)^2} = \sqrt{4,0 + 25,0 + 64,0} = \sqrt{93}.
Numericamente:
|\vec{r}|\approx 4,1231\quad\text{e}\quad |\vec{F}|\approx 9,6437.

Passo 10

Calculando \cos\theta:
\cos\theta = \dfrac{5,0}{\sqrt{17}\,\sqrt{93}} = \dfrac{5,0}{\sqrt{1581}} \approx 0,1258.
Logo o ângulo é
\theta = \operatorname{arccos}(0,1258) \approx 82,78^\circ.

Resposta

\vec{\tau} = (34,0\\ \text{N}\cdot\text{m})\hat{\imath} + (12,0\\ \text{N}\cdot\text{m})\hat{\jmath} + (16,0\\ \text{N}\cdot\text{m})\hat{k}\n
\theta \approx 82,78^\circ

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