- (2,0 pontos) A força
age sobre uma partícula cujo vetor posição é
. Quais são (a) o torque em relação à origem a que está submetida partícula, em termos dos vetores unitários, e (b) o ângulo entre
e
?
Passo 1
O enunciado dá os vetores força e posição e pede duas coisas:
- Vetor força:
. - Vetor posição:
.
Perguntas:
(a) Calcular o torque (momento) em relação à origem, expresso em termos dos vetores unitários.
(b) Calcular o ângulo entree .
Passo 2
Entendendo o que é pedido (a): o torque
em relação à origem é dado pelo produto vetorial entre
e
. A definição que vamos usar é
Vou explicar como calcular o produto vetorial componente a componente: se
e
, então
Cada componente é uma determinante 2×2 obtida ao “eliminar” a linha e coluna correspondentes. Essa fórmula dá a direção e magnitude do torque (unidade
).
Passo 3
Aplicando a fórmula do produto vetorial com os componentes dados:
Listando componentes numéricos:
Listando componentes numéricos:
Calculemos cada componente de
:
Componente
:
Efetuando as multiplicações:
Portanto
Passo 4
Componente
:
Efetuando:
Portanto
Passo 5
Componente
:
Efetuando:
Portanto
Passo 6
Juntando as três componentes obtemos o torque em termos dos vetores unitários:
Observação rápida: a unidade
vem de multiplicar metros por newtons nas componentes do produto vetorial.
Passo 7
Agora a pergunta (b): o ângulo entre
e
. Usamos o produto escalar: para vetores
e
,
onde
é o ângulo entre eles. Assim
O produto escalar também é fácil de calcular por componentes:
Passo 8
Calculemos
:
Efetuando:
Somando:
Passo 9
Agora os módulos:
Numericamente:
Passo 10
Calculando
:
Logo o ângulo é