Mostre que o número (111…1) (formado por 3^n algarismos iguais a 1) é divisível por 3^n.
Sugestão: Para o passo indutivo, divida o número escrito com 3^{n+1} algarismos iguais a 1 pelo número formado por 3^n algarismos iguais a 1 e verifique que o resultado é um número divisível por 3.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o número formado por 3^n algarismos iguais a 1, que chamaremos de R_n, é divisível por 3^n. O conteúdo é indução matemática combinada com a representação de R_n como série geométrica:
R_n = 111\cdots1 \;(\text{\(3^n\) vezes}) =\frac{10^{3^n}-1}{9}.
Vamos usar indução em n e, no passo indutivo, escrever R_{n+1} em função de R_n e mostrar que o fator extra é múltiplo de 3.

Passo 2

Verificamos a base n=1. Nesse caso 3^1=3 e
R_1 = 111 = \frac{10^3-1}{9} = \frac{1000-1}{9} = \frac{999}{9} = 111.
Como 111 = 3 \times 37, concluímos que R_1 é divisível por 3^1.

Passo 3

Indução: suponha que para algum n\ge1, o número
R_n = 111\cdots1\;(\text{\(3^n\) vezes})
é divisível por 3^n. Isto é, existe inteiro k tal que
R_n = 3^n \,k.

Passo 4

Considere agora
R_{n+1} = 111\cdots1\;(\text{\(3^{n+1}\) vezes}).
Podemos agrupar esses 3^{n+1} dígitos em três blocos de 3^n dígitos cada, obtendo
R_{n+1} = R_n + 10^{3^n}R_n + 10^{2\cdot3^n}R_n = R_n\bigl(1 + 10^{3^n} + 10^{2\cdot3^n}\bigr).

Passo 5

Defina
S = 1 + 10^{3^n} + 10^{2\cdot3^n}.
Para ver que S é divisível por 3, note que 10\equiv1\pmod3, logo
10^{3^n}\equiv1^{3^n}\equiv1\pmod3, \quad 10^{2\cdot3^n}\equiv1^{2\cdot3^n}\equiv1\pmod3.
Assim
S \equiv 1 + 1 + 1 = 3 \equiv 0\pmod3,
isto é, 3\mid S.

Passo 6

Pela hipótese indutiva R_n = 3^n k. Como também 3\mid S, escrevemos S=3m para algum inteiro m. Então
R_{n+1} = R_n\,S = \bigl(3^n k\bigr)\,(3m) = 3^{n+1}(k\,m),
mostrando que R_{n+1} é divisível por 3^{n+1}.

Resposta

O número formado por 3^n algarismos iguais a 1 é divisível por 3^n para todo n\in\mathbb{N}.

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