Mostre que o número (111…1) (formado por
algarismos iguais a 1) é divisível por
.
Sugestão: Para o passo indutivo, divida o número escrito com
algarismos iguais a 1 pelo número formado por
algarismos iguais a 1 e verifique que o resultado é um número divisível por 3.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o número formado por
algarismos iguais a 1, que chamaremos de
, é divisível por
. O conteúdo é indução matemática combinada com a representação de
como série geométrica:
Vamos usar indução em
e, no passo indutivo, escrever
em função de
e mostrar que o fator extra é múltiplo de 3.
Passo 2
Verificamos a base
. Nesse caso
e
Como
, concluímos que
é divisível por
.
Passo 3
Indução: suponha que para algum
, o número
é divisível por
. Isto é, existe inteiro
tal que
Passo 4
Considere agora
Podemos agrupar esses
dígitos em três blocos de
dígitos cada, obtendo
Passo 5
Defina
Para ver que
é divisível por 3, note que
, logo
Assim
isto é,
.
Passo 6
Pela hipótese indutiva
. Como também
, escrevemos
para algum inteiro
. Então
mostrando que
é divisível por
.
Resposta
O número formado por
algarismos iguais a 1 é divisível por
para todo
.