Mostre que o número (111…1) (formado por 3^n algarismos iguais a 1) é divisível por 3^n.
Sugestão: Para o passo indutivo, divida o número escrito com 3^{n+1} algarismos iguais a 1 pelo número formado por 3^n algarismos iguais a 1 e verifique que o resultado é um número divisível por 3.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o número formado por 3^n dígitos iguais a 1 é divisível por 3^n. Vamos usar prova por indução em n. Denotemos por
A_n = \underbrace{111\cdots1}_{3^n\text{ dígitos}}í
o número em questão. Nosso objetivo é provar que 3^n divide A_n para todo n\ge1.

Passo 2

Base da indução n=1. Temos A_1 = 111. Como
111 = 3 \times 37,
segue que 3^1 divide A_1. Logo, a propriedade vale para n=1.

Passo 3

Passo indutivo. Suponha que, para algum n\ge1, já temos que 3^n divide A_n. Ou seja, existe inteiro k tal que
A_n = k \,3^n.

Passo 4

Expressão de A_{n+1}. Note que
A_{n+1} = \sum_{i=0}^{3^{n+1}-1}10^i = \sum_{j=0}^{2}\sum_{i=0}^{3^n-1}10^{j\cdot3^n + i} = \biggl(\sum_{i=0}^{3^n-1}10^i\biggr)\,\bigl(1 + 10^{3^n} + 10^{2\cdot3^n}\bigr).
Portanto,
A_{n+1} = A_n\;\bigl(1 + 10^{3^n} + 10^{2\cdot3^n}\bigr).
Como 10\equiv1\pmod3, temos
1 + 10^{3^n} + 10^{2\cdot3^n} \equiv 1 + 1 + 1 = 3 \pmod3,
ou seja, 1 + 10^{3^n} + 10^{2\cdot3^n} é divisível por 3. Logo existe inteiro m tal que
1 + 10^{3^n} + 10^{2\cdot3^n} = 3m.
Assim
A_{n+1} = A_n \cdot 3m = (k\,3^n)\cdot3m = (k m)\,3^{n+1},
o que mostra que 3^{n+1} divide A_{n+1}.

Resposta

Para todo n\ge1, o número formado por 3^n algarismos iguais a 1 é divisível por 3^n.

Exercícios relacionados