Prove que, para qualquer número natural
:
b)
é divisível por 16 ;
b)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo
, o número
é múltiplo de 16. Vamos usar princípio de indução sobre
.
Passo 2
Base da indução
. Substituindo
temos
e
é divisível por
. Logo, a propriedade vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução. Suponha que para um certo
exista
tal que
Passo 4
Passo
. Considere
Note que
. Então
Pela hipótese de indução,
, e assim
Como
é ímpar,
é par; seja
. Então
mostrando que o termo para
também é múltiplo de 16.
Passo 5
Pelo princípio de indução, a propriedade vale para todo
.
Resposta
Para todo
,
divide
.