Prove que, para qualquer número natural n :
b) 3^{2 n+2}+8 n-9 é divisível por 16 ;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo n\in\mathbb{N}, o número
3^{2n+2}+8n-9
é múltiplo de 16. Vamos usar princípio de indução sobre n.

Passo 2

Base da indução n=0. Substituindo n=0 temos
3^{2\cdot0+2}+8\cdot0-9 = 3^2 - 9 = 9-9 = 0,
e 0 é divisível por 16. Logo, a propriedade vale para n=0.

Passo 3

Hipótese de indução. Suponha que para um certo k\in\mathbb{N} exista m\in\mathbb{Z} tal que
3^{2k+2}+8k-9 = 16m.

Passo 4

Passo k\to k+1. Considere
3^{2(k+1)+2}+8(k+1)-9 = 3^{2k+4}+8k+8-9.
Note que 3^{2k+4}=9\cdot 3^{2k+2}=8\cdot3^{2k+2}+3^{2k+2}. Então
3^{2k+4}+8k+8-9 =8\cdot3^{2k+2} + \bigl(3^{2k+2}+8k-9\bigr) +8.
Pela hipótese de indução, 3^{2k+2}+8k-9=16m, e assim
3^{2(k+1)+2}+8(k+1)-9 = 8\cdot3^{2k+2} + 16m + 8 =8\bigl(3^{2k+2}+1\bigr) +16m.
Como 3^{2k+2} é ímpar, 3^{2k+2}+1 é par; seja 3^{2k+2}+1=2t. Então
8\bigl(3^{2k+2}+1\bigr)+16m =8\cdot2t +16m =16t+16m =16(t+m),
mostrando que o termo para n=k+1 também é múltiplo de 16.

Passo 5

Pelo princípio de indução, a propriedade vale para todo n\in\mathbb{N}.

Resposta

Para todo n\in\mathbb{N}, 16 divide 3^{2n+2}+8n-9.

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