Mostre que \oint_{C} f(z) d z=0, onde f e C são especificadas em cada caso. O ramo do logaritmo considerado é o correspondente a -\pi \leq \theta<\pi.
f(z)=\frac{\log (z-2 i)}{(z+2) \cos ^{3}(z)} e C é o quadrado de vértices \pm 1 \pm i.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.
  • Pede-se para mostrar que \displaystyle \oint_{C} f(z)\,dz=0.
  • A função é \displaystyle f(z)=\frac{\log(z-2i)}{(z+2)\cos^3 z}.
  • O contorno C é o quadrado de vértices \pm 1\pm i; isso significa que C é a fronteira do conjunto R=\{z\in\mathbb{C}\mid -1\le \Re z\le 1,\\\ -1\le \Im z\le 1\}.
  • O ramo do logaritmo é o ramo principal, isto é, o log com argumento em -\pi\le\arg w<\pi. Consequentemente o corte do logaritmo para \log(w) (com w=z-2i) é a semi‑reta onde w é real e não positivo.

Passo 2

Ideia geral do método e critério que será usado (sem fazer ainda as contas).
  • Para aplicar o teorema de Cauchy (que garante que a integral de uma função holomorfa em uma região simplesmente conexa e ao longo da fronteira é zero) precisamos verificar que f é holomorfa (analítica) em uma região aberta que contenha o fecho interior de C (ou seja, em R e na fronteira).
  • Então vamos localizar todos os pontos onde f possa falhar ser analítica: zeros do denomidador (z+2)\cos^3 z, o ponto z=2i (onde o argumento do log é zero) e o corte do logaritmo. Depois verificamos se algum desses pontos pertence a R ou à sua fronteira. Se nenhum pertence, f é analítica em R\cup C e a integral é zero por Cauchy.

Passo 3

Singularidades vindas do numerador: \log(z-2i).
  • A função \log(w) (ramo principal) é holomorfa em \mathbb{C} menos a semi‑reta negativa real relativa à origem (ou seja, para w\neq 0 fora do semi‑eixo (-\infty,0]).
  • Aqui w=z-2i. Então a descontinuidade (o corte) de \log(z-2i) é a semi‑reta \{z: z-2i\in(-\infty,0]\}=\{z: z=2i+t,\\ t\le 0\}.Ou seja, é a semi‑reta horizontal que parte de 2i na direção negativa real (linha \Im z=2 com \Re z\le 0).
  • O ponto onde w=0 é z=2i; aí \log(z-2i) tem singularidade (na verdade singularidade de ramo).
  • Observação importante: a região R (o quadrado com -1\le\Re z\le1 e -1\le\Im z\le1) tem \Im z\le 1. O ponto z=2i tem \Im z=2, logo z=2i\notin R. A semi‑reta de corte tem \Im z=2 também, portanto o corte inteiro está fora de R.
  • Conclusão: não há problemas vindos do logaritmo dentro de R nem na fronteira C; \log(z-2i) é holomorfa em R\cup C.

Passo 4

Singularidade do fator (z+2) no denominador.
  • O fator (z+2) anula em z=-2.
  • O ponto z=-2 tem \Re z=-2, portanto fica fora do quadrado R (que tem -1\le\Re z\le1). Logo z=-2\notin R\cup C.
  • Conclusão: nenhuma singularidade interior ao contorno provém de (z+2).

Passo 5

Singularidades vindas de \cos^3 z, isto é, zeros de \cos z.
  • As raízes de \cos z são bem conhecidas: \cos z=0 exatamente quando z=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.Esses valores são pontos reais: \dots,-\tfrac{3\pi}{2}, -\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}, \tfrac{3\pi}{2},\dots.
  • Os dois zeros de \cos z mais próximos da origem são z=\pm \tfrac{\pi}{2}. Numérica e aproximadamente, \frac{\pi}{2}\approx 1{,}5708,\qquad -\frac{\pi}{2}\approx -1{,}5708.
  • O quadrado R tem |\Re z|\le 1, portanto qualquer ponto com |\Re z|>1 não está em R. Em particular \pm \tfrac{\pi}{2} têm |\Re|>1, logo estão fora de R. Todos os outros zeros de \cos z estão ainda mais longe.
  • Conclusão: \cos z\neq 0 para todo z\in R\cup C. Assim \cos^3 z não zera em R\cup C e não gera singularidades internas.

Passo 6

Resumo das singularidades e conclusão sobre holomorfia em R\cup C.
  • Resumindo: os únicos possíveis pontos problemáticos são z=2i, a semi‑reta de corte dada por z=2i+t,\\ t\le 0, z=-2 e os pontos z=\tfrac{\pi}{2}+k\pi.
  • Verificou‑se que nenhum desses pontos pertence a R nem à fronteira C:
    • z=2i e o corte têm \Im z=2, mas R tem \Im z\le 1.
    • z=-2 tem \Re z=-2<-1.
    • \tfrac{\pi}{2}+k\pi têm |\Re z|\ge \tfrac{\pi}{2}>1.
  • Portanto f é holomorfa (analítica) em uma vizinhança aberta que contém R\cup C.

Passo 7

Aplicação do teorema de Cauchy e justificativa final.
  • Teorema de Cauchy (forma básica que vamos usar): se uma função é holomorfa em uma região simplesmente conexa que contém uma curva fechada C e o interior de C, então a integral de linha dessa função ao longo de C é zero: \oint_{C} g(z)\,dz=0.
  • Já mostramos que f é holomorfa em R\cup C, e o interior do contorno C é precisamente R, que é simplesmente conexo (um quadrado sem buracos).
  • Logo todas as hipóteses do teorema de Cauchy são satisfeitas, e portanto \oint_{C} f(z)\,dz=0.

Resposta

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