Mostre que
, onde
e
são especificadas em cada caso. O ramo do logaritmo considerado é o correspondente a
.
e
é o quadrado de vértices
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado.
- Pede-se para mostrar que
. - A função é
. - O contorno
é o quadrado de vértices ; isso significa que é a fronteira do conjunto - O ramo do logaritmo é o ramo principal, isto é, o log com argumento em
. Consequentemente o corte do logaritmo para (com ) é a semi‑reta onde é real e não positivo.
Passo 2
Ideia geral do método e critério que será usado (sem fazer ainda as contas).
- Para aplicar o teorema de Cauchy (que garante que a integral de uma função holomorfa em uma região simplesmente conexa e ao longo da fronteira é zero) precisamos verificar que
é holomorfa (analítica) em uma região aberta que contenha o fecho interior de (ou seja, em e na fronteira). - Então vamos localizar todos os pontos onde
possa falhar ser analítica: zeros do denomidador , o ponto (onde o argumento do log é zero) e o corte do logaritmo. Depois verificamos se algum desses pontos pertence a ou à sua fronteira. Se nenhum pertence, é analítica em e a integral é zero por Cauchy.
Passo 3
Singularidades vindas do numerador:
.
- A função
(ramo principal) é holomorfa em menos a semi‑reta negativa real relativa à origem (ou seja, para fora do semi‑eixo ). - Aqui
. Então a descontinuidade (o corte) de é a semi‑reta Ou seja, é a semi‑reta horizontal que parte de na direção negativa real (linha com ). - O ponto onde
é ; aí tem singularidade (na verdade singularidade de ramo). - Observação importante: a região
(o quadrado com e ) tem . O ponto tem , logo . A semi‑reta de corte tem também, portanto o corte inteiro está fora de . - Conclusão: não há problemas vindos do logaritmo dentro de
nem na fronteira ; é holomorfa em .
Passo 4
Singularidade do fator
no denominador.
- O fator
anula em . - O ponto
tem , portanto fica fora do quadrado (que tem ). Logo . - Conclusão: nenhuma singularidade interior ao contorno provém de
.
Passo 5
Singularidades vindas de
, isto é, zeros de
.
- As raízes de
são bem conhecidas: exatamente quando Esses valores são pontos reais: . - Os dois zeros de
mais próximos da origem são . Numérica e aproximadamente, - O quadrado
tem , portanto qualquer ponto com não está em . Em particular têm , logo estão fora de . Todos os outros zeros de estão ainda mais longe. - Conclusão:
para todo . Assim não zera em e não gera singularidades internas.
Passo 6
Resumo das singularidades e conclusão sobre holomorfia em
.
- Resumindo: os únicos possíveis pontos problemáticos são
, a semi‑reta de corte dada por , e os pontos . - Verificou‑se que nenhum desses pontos pertence a
nem à fronteira : -
e o corte têm , mas tem . -
tem . -
têm .
-
- Portanto
é holomorfa (analítica) em uma vizinhança aberta que contém .
Passo 7
Aplicação do teorema de Cauchy e justificativa final.
- Teorema de Cauchy (forma básica que vamos usar): se uma função é holomorfa em uma região simplesmente conexa que contém uma curva fechada
e o interior de , então a integral de linha dessa função ao longo de é zero: - Já mostramos que
é holomorfa em , e o interior do contorno é precisamente , que é simplesmente conexo (um quadrado sem buracos). - Logo todas as hipóteses do teorema de Cauchy são satisfeitas, e portanto
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