Mostre as seguintes desigualdades:
\left|\int_{C} \frac{z-2}{z^{4}+1} d z\right| \leq \frac{4 \pi}{15}, onde C é o arco de círculo situado no primeiro quadrante, centrado na origem e de raio 2 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a desigualdade
\left|\int_{C} \frac{z-2}{z^{4}+1}\,dz\right| \leq \frac{4\pi}{15},
onde C é o arco de círculo situado no primeiro quadrante, centrado na origem e de raio 2.
Informações dadas e que vamos usar:
  • O arco C é parte do círculo de centro 0 e raio 2, no primeiro quadrante. Portanto para todo z\in C vale |z|=2 e o arco corresponde ao ângulo \theta variando de 0 a \tfrac{\pi}{2}.
  • Queremos um majorante (uma cota superior) do valor absoluto da integral complexa \int_C \dfrac{z-2}{z^4+1}\,dz.

Passo 2

Lembrar de uma desigualdade padrão para integrais complexas (passo didático): para qualquer função complexa f contínua sobre um arco C vale
\left|\int_C f(z)\,dz\right| \le \int_C |f(z)|\,|dz|.
Isto vem da desigualdade triangular e da definição da integral de linha em \mathbb{C}. Em palavras: o módulo da integral é no máximo a integral do módulo. Às vezes resumimos isso pela chamada desigualdade ML:
\left|\int_C f(z)\,dz\right| \le M\cdot L,
onde M=\sup_{z\in C}|f(z)| e L é o comprimento de C. Vou usar essa forma porque é prática na prova: primeiro encontro M, depois L.

Passo 3

Encontrar um cota superior para o numerador |z-2| quando z\in C.
Usar a desigualdade triangular: para quaisquer complexos a,b vale |a-b|\le |a|+|b|. Colocando a=z e b=2 (entendendo 2 como o número complexo 2+0i),
|z-2| \le |z| + |2|.
Como para z\in C temos |z|=2 e |2|=2, obtemos
|z-2| \le 2 + 2 = 4.
Portanto o numerador fica no máximo 4 sobre o arco.
Comentário didático curto: às vezes dá para obter cotas melhores usando geometria (por exemplo se o arco estivesse longe de 2), mas aqui a estimativa simples |z-2|\le 4 é suficiente e fácil de aplicar na prova.

Passo 4

Encontrar uma cota inferior para o denominador |z^4+1| quando z\in C.
Usar a desigualdade reversa triangular (ou desigualdade do triângulo reversa): para quaisquer complexos a,b vale |a+b|\ge \big||a|-|b|\big|. Tomando a=z^4 e b=1,
|z^4+1| \ge \big||z^4|-|1|\big|.
Mas |z^4| = |z|^4. Como |z|=2 no arco, |z^4| = 2^4 = 16. E |1|=1. Logo
|z^4+1| \ge 16 - 1 = 15.
Isso dá uma cota inferior uniformemente positiva para o denominador ao longo de C, o que é ótimo porque evita divisão por números pequenos.

Passo 5

Combinar as cotas do numerador e do denominador para obter M=\sup_{z\in C}\left|\dfrac{z-2}{z^4+1}\right|.
Pelo que foi obtido nos passos anteriores, para todo z\in C
\left|\frac{z-2}{z^4+1}\right| = \frac{|z-2|}{|z^4+1|} \le \frac{4}{15}.
Portanto podemos tomar M=\dfrac{4}{15}.
Breve explicação: para funções racionais desse tipo, é comum usar |\frac{A}{B}|=\frac{|A|}{|B|} e então aplicar as desigualdades triangulares para numerador e denominador.

Passo 6

Calcular o comprimento L do arco C.
O comprimento de um arco de círculo de raio r que subtende um ângulo \theta (em radianos) é L=r\theta. Aqui r=2 e como o arco está no primeiro quadrante ele tem ângulo \theta=\tfrac{\pi}{2}. Logo
L = 2\cdot \frac{\pi}{2} = \pi.

Passo 7

Aplicar a desigualdade ML com M=\dfrac{4}{15} e L=\pi.
Usando
\left|\int_C \frac{z-2}{z^4+1}\,dz\right| \le M\cdot L
obtemos
\left|\int_C \frac{z-2}{z^4+1}\,dz\right| \le \frac{4}{15}\cdot \pi = \frac{4\pi}{15}.

Resposta

\left|\int_{C} \frac{z-2}{z^{4}+1} d z\right| \leq \frac{4 \pi}{15}

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