Mostre que
, onde
e
são especificadas em cada caso. O ramo do logaritmo considerado é o correspondente a
.
e
é o círculo centrado na origem de raio
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
onde
e
é o círculo centrado na origem de raio
. Foi dito que o ramo do logaritmo é o correspondente a
, mas aqui a função
não envolve logaritmo, portanto esse detalhe do ramo não entra na conta.
Informações dadas e objetivo, listadas:
- Função:
. - Contorno:
é o círculo . - Objetivo: mostrar que o integral de linha complexo fechado
vale zero.
Passo 2
Identificar singularidades de
.
A única possível singularidade vem do denominador
. Resolver
Calcular a distância do pólo à origem:
Comparando com o raio do círculo:
logo o ponto
está fora do disco fechado de raio
. O numerador
é uma função inteira (isto é, holomorfa em todo o plano), porque
e
são inteiras. Portanto
é meromorfa no plano com um único polo simples em
, e esse polo não pertence ao interior nem à fronteira do contorno
. Conclusão:
é holomorfa (analítica) em uma vizinhança de todo o disco interior a
e sobre
.
Comentário didático rápido sobre termos usados:
- “Inteira” significa holomorfa em todo
. - “Holomorfa/analítica” numa região significa que tem derivada complexa em todos os pontos dessa região.
- Se uma função é holomorfa em um disco que contém o interior e a curva fechada
, então podemos aplicar o teorema de Cauchy.
Passo 3
Aplicar o Teorema de Cauchy (forma básica).
Enunciado do teorema (forma usada aqui): se
é holomorfa numa região aberta que contém o interior do contorno simples fechado
e o próprio
, então
No nosso caso,
e, como mostrado no passo anterior,
é holomorfa em uma vizinhança do disco interior a
(pois o único pólo está fora). Assim todas as hipóteses do teorema de Cauchy estão satisfeitas e obtemos imediatamente
Passo 4
Alternativa pela teoria dos resíduos (interpretação útil para provas similares).
Pelo Teorema dos Resíduos,
Neste problema há exatamente um pólo de
em
, mas já verificamos que
, portanto esse pólo não está dentro de
. Assim a soma de resíduos sobre pólos no interior de
é vazia (zero), e então a integral vale
. Esta é apenas uma verificação alternativa que dá o mesmo resultado.