Mostre que \oint_{C} f(z) d z=0, onde f e C são especificadas em cada caso. O ramo do logaritmo considerado é o correspondente a -\pi \leq \theta<\pi.
f(z)=\frac{3 z e^{z}}{z+2 i} e C é o círculo centrado na origem de raio \frac{3}{2}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\oint_{C} f(z)\,dz = 0,
onde
f(z)=\frac{3 z e^{z}}{z+2i}
e C é o círculo centrado na origem de raio \displaystyle \frac{3}{2}. Foi dito que o ramo do logaritmo é o correspondente a -\pi\le\theta<\pi, mas aqui a função f não envolve logaritmo, portanto esse detalhe do ramo não entra na conta.
Informações dadas e objetivo, listadas:
  • Função: f(z)=\dfrac{3 z e^{z}}{z+2i}.
  • Contorno: C é o círculo \{z\in\mathbb{C}:\\ |z|=\tfrac{3}{2}\}.
  • Objetivo: mostrar que o integral de linha complexo fechado \oint_C f(z)\,dz vale zero.

Passo 2

Identificar singularidades de f.
A única possível singularidade vem do denominador z+2i. Resolver
z+2i=0 \quad\Rightarrow\quad z=-2i.
Calcular a distância do pólo à origem:
|{-2i}| = 2.
Comparando com o raio do círculo:
2 > \frac{3}{2},
logo o ponto z=-2i está fora do disco fechado de raio \tfrac{3}{2}. O numerador 3z e^{z} é uma função inteira (isto é, holomorfa em todo o plano), porque z\mapsto z e z\mapsto e^{z} são inteiras. Portanto f é meromorfa no plano com um único polo simples em z=-2i, e esse polo não pertence ao interior nem à fronteira do contorno C. Conclusão: f é holomorfa (analítica) em uma vizinhança de todo o disco interior a C e sobre C.
Comentário didático rápido sobre termos usados:
  • “Inteira” significa holomorfa em todo \mathbb{C}.
  • “Holomorfa/analítica” numa região significa que tem derivada complexa em todos os pontos dessa região.
  • Se uma função é holomorfa em um disco que contém o interior e a curva fechada C, então podemos aplicar o teorema de Cauchy.

Passo 3

Aplicar o Teorema de Cauchy (forma básica).
Enunciado do teorema (forma usada aqui): se g é holomorfa numa região aberta que contém o interior do contorno simples fechado C e o próprio C, então
\oint_C g(z)\,dz = 0.
No nosso caso, g=f e, como mostrado no passo anterior, f é holomorfa em uma vizinhança do disco interior a C (pois o único pólo está fora). Assim todas as hipóteses do teorema de Cauchy estão satisfeitas e obtemos imediatamente
\oint_C f(z)\,dz = 0.

Passo 4

Alternativa pela teoria dos resíduos (interpretação útil para provas similares).
Pelo Teorema dos Resíduos,
\oint_C f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{\text{pólos dentro de }C} \operatorname{Res}(f; \text{pólo}).óó
Neste problema há exatamente um pólo de f em z=-2i, mas já verificamos que |-2i|=2>\tfrac{3}{2}, portanto esse pólo não está dentro de C. Assim a soma de resíduos sobre pólos no interior de C é vazia (zero), e então a integral vale 0. Esta é apenas uma verificação alternativa que dá o mesmo resultado.

Resposta

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