Beleza, vamos lá! Você tem a integral de contorno e queremos mostrar que ela é igual a zero. Vamos usar algumas ideias de cálculo de integrais complexas, especialmente o teorema dos resíduos. Basicamente, vamos identificar os pontos onde a função tem “problemas” (chamados de polos) e ver como eles se comportam dentro do círculo de raio 2.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração: . Podemos fatorar isso para encontrar onde a função não está bem definida, ou seja, onde tem polos. Então:
Isso nos mostra que há polos em e .
Passo 3
Agora, vamos verificar se esses polos estão dentro do caminho de integração, que é o círculo . Calculando a magnitude:
Como 1 é menor que 2, ambos os polos e estão dentro do nosso contorno.
Passo 4
Segundo o teorema dos resíduos, a integral ao redor de um contorno que envolve esses polos é igual a vezes a soma dos resíduos da função nesses polos. Então, precisamos calcular os resíduos de em e .
Passo 5
Para encontrar o resíduo em , derivamos o denominador:
Da mesma forma, para z = -1:
Resz=-1 1z^2-1 = 12zg|z=-1 = 12(-1) = -12
Passo 6
Agora, somamos os resíduos encontrados:
12 + (-12) = 0
Multiplicando pela constante 2pi i do teorema dos resíduos: