Mostre que oint|z|=2 d zz^2-1=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem a integral de contorno oint|z|=2 dzz^2-1 e queremos mostrar que ela é igual a zero. Vamos usar algumas ideias de cálculo de integrais complexas, especialmente o teorema dos resíduos. Basicamente, vamos identificar os pontos onde a função tem “problemas” (chamados de polos) e ver como eles se comportam dentro do círculo de raio 2.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração: z^2 - 1. Podemos fatorar isso para encontrar onde a função 1z^2-1 não está bem definida, ou seja, onde tem polos. Então:
z^2 - 1 = (z - 1)(z + 1)
Isso nos mostra que há polos em z = 1 e z = -1.

Passo 3

Agora, vamos verificar se esses polos estão dentro do caminho de integração, que é o círculo |z| = 2. Calculando a magnitude:
|1| = 1 e |-1| = 1
Como 1 é menor que 2, ambos os polos z = 1 e z = -1 estão dentro do nosso contorno.

Passo 4

Segundo o teorema dos resíduos, a integral ao redor de um contorno que envolve esses polos é igual a 2pi i vezes a soma dos resíduos da função nesses polos. Então, precisamos calcular os resíduos de 1z^2-1 em z = 1 e z = -1.

Passo 5

Para encontrar o resíduo em z = 1, derivamos o denominador:
Resz=1 1z^2-1 = 12zg|z=1 = 12(1) = 12
Da mesma forma, para z = -1:
Resz=-1 1z^2-1 = 12zg|z=-1 = 12(-1) = -12

Passo 6

Agora, somamos os resíduos encontrados:
12 + (-12) = 0
Multiplicando pela constante 2pi i do teorema dos resíduos:
2pi i times 0 = 0

Resposta

Então, oint|z|=2 dzz^2-1 = 0.

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