Resolva a inequação:
x^2-4 x<1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação $ x^{2} - 4x < 1 $. Aqui, estamos lidando com uma inequação quadrática, que envolve polinômios de segundo grau. Para resolver isso, vamos precisar reorganizar a equação, encontrar as raízes do polinômio e analisar os intervalos onde a expressão é menor que zero.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a inequação igual a zero para facilitar a análise. Para isso, subtraímos 1 de ambos os lados:
x^2 - 4x - 1 < 0
Agora, a inequação está na forma padrão $ ax^{2} + bx + c < 0 $, onde $ a = 1 $, $ b = -4 $ e $ c = -1 $.

Passo 3

Em seguida, precisamos encontrar as raízes da equação quadrática associada $ x^{2} - 4x - 1 = 0 $. Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara, que é:
x^2 - 4x - 1 = 0
Substituindo os valores de $ a $, $ b $ e $ c $:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
a
b
c
x = 4 pm raiz(-4)^2 - 4 cdot 1 cdot (-1)2 cdot 1
Então, as raízes são $ x = 2 + \sqrt{5} $ e $ x = 2 - \sqrt{5} $.

Passo 4

Agora, vamos analisar os intervalos determinados por essas raízes para ver onde a inequação $ x^{2} - 4x - 1 < 0 $ é verdadeira. As raízes dividem a reta numérica em três intervalos:
  1. $ x < 2 - \sqrt{5} $
  2. $ 2 - \sqrt{5} < x < 2 + \sqrt{5} $
  3. $ x > 2 + \sqrt{5} $
Vamos testar um valor em cada intervalo na inequação para ver se ela é verdadeira.
  • Intervalo 1 ($ x < 2 - \sqrt{5} $):
    • Vamos testar $ x = 0 $: x^2 - 4x - 1 < 0 → Verdadeiro
  • Intervalo 2 ($ 2 - \sqrt{5} < x < 2 + \sqrt{5} $):
    • Vamos testar $ x = 2 $: x < 2 - raiz5 → Verdadeiro
  • Intervalo 3 ($ x > 2 + \sqrt{5} $):
    • Vamos testar $ x = 5 $: 2 - raiz5 < x < 2 + raiz5 → Falso

Resposta

A solução da inequação $ x^{2} - 4x < 1 $ é:
x^2 - 4x < 1
Ou, de forma intervalar:
x in (-infty, 2 + raiz5)

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