Resolva a inequação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a inequação $ x^{2} - 4x < 1 $. Aqui, estamos lidando com uma inequação quadrática, que envolve polinômios de segundo grau. Para resolver isso, vamos precisar reorganizar a equação, encontrar as raízes do polinômio e analisar os intervalos onde a expressão é menor que zero.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a inequação igual a zero para facilitar a análise. Para isso, subtraímos 1 de ambos os lados:
Agora, a inequação está na forma padrão $ ax^{2} + bx + c < 0 $, onde $ a = 1 $, $ b = -4 $ e $ c = -1 $.
Passo 3
Em seguida, precisamos encontrar as raízes da equação quadrática associada $ x^{2} - 4x - 1 = 0 $. Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara, que é:
Substituindo os valores de $ a $, $ b $ e $ c $:
Então, as raízes são $ x = 2 + \sqrt{5} $ e $ x = 2 - \sqrt{5} $.
Passo 4
Agora, vamos analisar os intervalos determinados por essas raízes para ver onde a inequação $ x^{2} - 4x - 1 < 0 $ é verdadeira. As raízes dividem a reta numérica em três intervalos:
- $ x < 2 - \sqrt{5} $
- $ 2 - \sqrt{5} < x < 2 + \sqrt{5} $
- $ x > 2 + \sqrt{5} $
Vamos testar um valor em cada intervalo na inequação para ver se ela é verdadeira.
-
Intervalo 1 ($ x < 2 - \sqrt{5} $):
- Vamos testar $ x = 0 $:
→ Verdadeiro
- Vamos testar $ x = 0 $:
-
Intervalo 2 ($ 2 - \sqrt{5} < x < 2 + \sqrt{5} $):
- Vamos testar $ x = 2 $:
→ Verdadeiro
- Vamos testar $ x = 2 $:
-
Intervalo 3 ($ x > 2 + \sqrt{5} $):
- Vamos testar $ x = 5 $:
→ Falso
- Vamos testar $ x = 5 $:
Resposta
A solução da inequação $ x^{2} - 4x < 1 $ é:
Ou, de forma intervalar: