Mostre que a operação binária sobre
definida por
é uma operação comutativa e associativa.
Passo 1
O enunciado define uma operação binária sobre
dada por
para quaisquer
.
O que se pede:
O que se pede:
- Mostrar que a operação é comutativa (isto é,
para todo ). - Mostrar que a operação é associativa (isto é,
para todo ).
Passo 2
Lembrete das definições (para termos tudo bem claro):
- A operação é comutativa quando, para quaisquer
, vale
- A operação é associativa quando, para quaisquer
, vale
Vou provar cada propriedade diretamente, explicando cada passo.
Passo 3
Prova da comutatividade.
Calculo e
:
Calculo
Como a adição em
é comutativa temos
, e a multiplicação em
é comutativa temos
. Substituindo essas igualdades obtemos exatamente
logo
Portanto a operação é comutativa.
Passo 4
Uma forma útil de ver a operação é fatorá‑la. Observe a identidade algébrica
Verificação rápida: expandindo o lado direito dá
que é exatamente
. Essa reescrita vai facilitar a prova da associatividade, porque liga a operação com a multiplicação usual, que já conhecemos ser associativa.
Passo 5
Usando a fórmula geral
válida para quaisquer
, calculemos
.
Primeiro note que
Primeiro note que
então
Agora aplique a fórmula com
e
:
Substituindo
obtemos
Passo 6
Agora calculemos
de forma análoga.
Temos
Temos
portanto
Aplicando a fórmula com
e
,
Comparando com o resultado do Passo 5 vemos que
Assim a operação é associativa.
Passo 7
Resumo e intuição final: a operação
é igual a
. Como adição e multiplicação usuais em
são comutativas e a multiplicação é associativa, a operação construída a partir delas herda essas propriedades. Portanto está provado que a operação é comutativa e associativa.
Resposta
A operação é comutativa e associativa.