Mostre que a operação binária sobre \mathbb{N} definida por a * b=a+b+a b é uma operação comutativa e associativa.

Passo 1

O enunciado define uma operação binária sobre \mathbb{N} dada por
a*b = a + b + a b,
para quaisquer a,b\in\mathbb{N}.
O que se pede:
  • Mostrar que a operação é comutativa (isto é, a*b=b*a para todo a,b\in\mathbb{N}).
  • Mostrar que a operação é associativa (isto é, (a*b)*c = a*(b*c) para todo a,b,c\in\mathbb{N}).

Passo 2

Lembrete das definições (para termos tudo bem claro):
  • A operação é comutativa quando, para quaisquer a,b, vale
a*b = b*a.
  • A operação é associativa quando, para quaisquer a,b,c, vale
(a*b)*c = a*(b*c).
Vou provar cada propriedade diretamente, explicando cada passo.

Passo 3

Prova da comutatividade.
Calculo a*b e b*a:
a*b = a + b + a b, \qquad b*a = b + a + b a.
Como a adição em \mathbb{N} é comutativa temos a+b=b+a, e a multiplicação em \mathbb{N} é comutativa temos ab=ba. Substituindo essas igualdades obtemos exatamente
a+b+ab = b+a+ba,
logo
a*b = b*a.
Portanto a operação é comutativa.

Passo 4

Uma forma útil de ver a operação é fatorá‑la. Observe a identidade algébrica
a + b + ab = (a+1)(b+1) - 1.
Verificação rápida: expandindo o lado direito dá
(a+1)(b+1)-1 = ab + a + b + 1 - 1 = ab + a + b,
que é exatamente a+b+ab. Essa reescrita vai facilitar a prova da associatividade, porque liga a operação com a multiplicação usual, que já conhecemos ser associativa.

Passo 5

Usando a fórmula geral x*y = (x+1)(y+1)-1 válida para quaisquer x,y\in\mathbb{N}, calculemos (a*b)*c.
Primeiro note que
a*b = (a+1)(b+1)-1,
então
(a*b)+1 = (a+1)(b+1).
Agora aplique a fórmula com x=a*b e y=c:
(a*b)*c = \big((a*b)+1\big)(c+1)-1.
Substituindo (a*b)+1 obtemos
(a*b)*c = (a+1)(b+1)(c+1) - 1.

Passo 6

Agora calculemos a*(b*c) de forma análoga.
Temos
b*c = (b+1)(c+1)-1,
portanto
(b*c)+1 = (b+1)(c+1).
Aplicando a fórmula com x=a e y=b*c,
a*(b*c) = (a+1)\big((b*c)+1\big)-1 = (a+1)(b+1)(c+1) - 1.
Comparando com o resultado do Passo 5 vemos que
(a*b)*c = (a+1)(b+1)(c+1) - 1 = a*(b*c).
Assim a operação é associativa.

Passo 7

Resumo e intuição final: a operação a*b é igual a (a+1)(b+1)-1. Como adição e multiplicação usuais em \mathbb{N} são comutativas e a multiplicação é associativa, a operação construída a partir delas herda essas propriedades. Portanto está provado que a operação é comutativa e associativa.

Resposta

A operação é comutativa e associativa.

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