Quais das seguintes operações são operações binárias definidas em \mathbb{N} ? Em \mathbb{Z} ? Em \mathbb{Q} ?
(a) a * b=a+b-a b.

Passo 1

O enunciado define a operação
a*b = a + b - ab
e pergunta, separadamente, se essa regra determina uma operação binária em cada um dos conjuntos \mathbb{N}, \mathbb{Z} e \mathbb{Q}.
As perguntas são, portanto:
  • A operação é uma operação binária em \mathbb{N}?
  • A operação é uma operação binária em \mathbb{Z}?
  • A operação é uma operação binária em \mathbb{Q}?

Passo 2

Lembrete passo a passo sobre o que significa "operação binária em S":
  • Uma regra \ast é uma operação binária em um conjunto S se, para todo a\in S e todo b\in S, o resultado a*b também pertence a S.
  • Em linguagem simbólica: \ast : S\times S \to S.
    Ou seja, o item que precisamos verificar é a propriedade de fechamento: a*b\in S para quaisquer a,b\in S.

Passo 3

Verificação em \mathbb{N}.
  • Não é preciso assumir aqui se \mathbb{N} contém 0 ou não: basta achar um par (a,b)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N} cujo a*b não é natural.
  • Tomemos a=3 e b=2. Então
3*2 = 3 + 2 - 3\cdot2 = 5 - 6 = -1.
  • O resultado -1 não pertence a \mathbb{N} (nem se \mathbb{N} tiver 0). Portanto a regra não é fechada em \mathbb{N}.
Conclusão: não é operação binária em \mathbb{N}.

Passo 4

Verificação em \mathbb{Z}.
  • Prova geral de fechamento: sejam a,b\in\mathbb{Z}. Sabe-se que a soma de inteiros a+b é um inteiro e o produto ab é um inteiro. A diferença entre inteiros também é um inteiro. Logo
a*b = a + b - ab \in \mathbb{Z}.
  • Assim, para quaisquer a,b\in\mathbb{Z} o resultado pertence a \mathbb{Z}.
Conclusão: é operação binária em \mathbb{Z}.

Passo 5

Verificação em \mathbb{Q}.
  • Prova geral de fechamento: sejam a,b\in\mathbb{Q}. A soma de números racionais é racional, o produto de racionais é racional e a diferença também é racional. Portanto
a*b = a + b - ab \in \mathbb{Q}.
  • Exemplo numérico rápido: \tfrac{1}{2} * \tfrac{1}{3} = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{6} = \tfrac{2}{3}, que é racional.
Conclusão: é operação binária em \mathbb{Q}.

Passo 6

Recapitulando de forma direta e prática:
  • em \mathbb{N}: não (contrex.: 3*2=-1\notin\mathbb{N});
  • em \mathbb{Z}: sim (fechamento por soma, produto e diferença);
  • em \mathbb{Q}: sim (fechamento por soma, produto e diferença).

Resposta

Em \mathbb{N}: Não.
Em \mathbb{Z}: Sim.
Em \mathbb{Q}: Sim.

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