Quais das seguintes operações são operações binárias definidas em
? Em
? Em
?
(a)
.
(a)
Passo 1
O enunciado define a operação
e pergunta, separadamente, se essa regra determina uma operação binária em cada um dos conjuntos
,
e
.
As perguntas são, portanto:
- A operação é uma operação binária em
? - A operação é uma operação binária em
? - A operação é uma operação binária em
?
Passo 2
Lembrete passo a passo sobre o que significa "operação binária em
":
- Uma regra
é uma operação binária em um conjunto se, para todo e todo , o resultado também pertence a . - Em linguagem simbólica:
.
Ou seja, o item que precisamos verificar é a propriedade de fechamento:para quaisquer .
Passo 3
Verificação em
.
- Não é preciso assumir aqui se
contém ou não: basta achar um par cujo não é natural. - Tomemos
e . Então
- O resultado
não pertence a (nem se tiver ). Portanto a regra não é fechada em .
Conclusão: não é operação binária em
.
Passo 4
Verificação em
.
- Prova geral de fechamento: sejam
. Sabe-se que a soma de inteiros é um inteiro e o produto é um inteiro. A diferença entre inteiros também é um inteiro. Logo
- Assim, para quaisquer
o resultado pertence a .
Conclusão: é operação binária em
.
Passo 5
Verificação em
.
- Prova geral de fechamento: sejam
. A soma de números racionais é racional, o produto de racionais é racional e a diferença também é racional. Portanto
- Exemplo numérico rápido:
, que é racional.
Conclusão: é operação binária em
.
Passo 6
Recapitulando de forma direta e prática:
- em
: não (contrex.: ); - em
: sim (fechamento por soma, produto e diferença); - em
: sim (fechamento por soma, produto e diferença).
Resposta
Em
: Não.
Em : Sim.
Em : Sim.
Em
Em