Quais das seguintes operações são operações binárias definidas em
? Em
? Em
?
(b)
b=\frac{a{2}-b{2}}{a-b}$.
(b)
Passo 1
O enunciado dá a operação (símbolo entre
e
é apenas notação)
e pergunta se essa regra define uma operação binária em cada um dos conjuntos
,
e
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A fórmula envolve divisão por
, logo pode ocorrer divisão por zero quando . - Para
a expressão pode ser simplificada por fatoração do numerador. - A pergunta exige verificar se a operação está bem definida para todo par ordenado
em cada conjunto considerado.
Passo 2
Definição que vamos usar (passo teórico bem explicado): uma operação binária em um conjunto
é uma regra que associa, a cada par ordenado
, exatamente um elemento de
. Em outras palavras, uma operação binária é uma função
bem definida para todos os pares
. Duas propriedades-chave para checar:
- A expressão deve estar definida para todo
(sem exceções). - O valor produzido deve pertencer a
(fechamento).
Portanto, se houver algum par
para o qual a fórmula não fornece um valor (por exemplo por divisão por zero), a regra NÃO é uma operação binária em
.
Passo 3
Análise algébrica da expressão, mostrando detalhes passo a passo.
Para
podemos fatorar o numerador:
Substituindo na expressão:
Se
podemos cancelar o fator
nos dois lados e obtemos
Observação importante: a simplificação acima NÃO é válida quando
, porque aí teríamos
, uma expressão indefinida. Não se pode “cancelar” quando o fator cancelado pode ser zero.
Passo 4
Verificação direta da definição da operação em cada conjunto, usando exemplos concretos (para evidenciar a existência de pares que causam problema).
- Em
: escolha (note que ). A fórmula dá
que é indefinido. Logo a regra não fornece um valor para o par
. Portanto não é uma operação binária em
.
- Em
: escolha . Então
indefinido. Logo não é operação binária em
.
- Em
: escolha . Então
indefinido. Logo não é operação binária em
.
Em todos os três conjuntos existe pelo menos um par
para o qual a fórmula é indefinida, o que viola a exigência de estar definida para todo
.
Passo 5
Comentário adicional didático (útil para a prova, sem alterar a resposta): para
a expressão coincide com
, e
pertence a
quando
pertencem respectivamente a esses conjuntos — isto mostra que, quando definida, a regra dá um resultado dentro do conjunto (fechamento). O problema é exclusivamente a ausência de definição quando
.
Se alguém quisesse forçar a existência de uma operação binária com comportamento semelhante, seria preciso definir explicitamente o valor também para os casos
(por exemplo definindo o valor como
); só então a nova regra, assim completada, seria uma operação binária (e nessa nova versão ela coincidiria com
para todos os pares). Mas isso seria outra operação, não a dada no enunciado.
Resposta
Não é operação binária em
.
Não é operação binária em .
Não é operação binária em .
Não é operação binária em
Não é operação binária em