Quais das seguintes operações são operações binárias definidas em \mathbb{N} ? Em \mathbb{Z} ? Em \mathbb{Q} ?
(b) a b=\frac{a{2}-b{2}}{a-b}$.

Passo 1

O enunciado dá a operação (símbolo entre a e b é apenas notação)
a \;\text{b} = \frac{a^{2}-b^{2}}{a-b}
e pergunta se essa regra define uma operação binária em cada um dos conjuntos \mathbb{N}, \mathbb{Z} e \mathbb{Q}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A fórmula envolve divisão por a-b, logo pode ocorrer divisão por zero quando a=b.
  • Para a\neq b a expressão pode ser simplificada por fatoração do numerador.
  • A pergunta exige verificar se a operação está bem definida para todo par ordenado (a,b) em cada conjunto considerado.

Passo 2

Definição que vamos usar (passo teórico bem explicado): uma operação binária em um conjunto S é uma regra que associa, a cada par ordenado (a,b)\in S\times S, exatamente um elemento de S. Em outras palavras, uma operação binária é uma função
\ast: S\times S \to S
bem definida para todos os pares (a,b). Duas propriedades-chave para checar:
  1. A expressão deve estar definida para todo (a,b)\in S\times S (sem exceções).
  2. O valor produzido deve pertencer a S (fechamento).
Portanto, se houver algum par (a,b)\in S\times S para o qual a fórmula não fornece um valor (por exemplo por divisão por zero), a regra NÃO é uma operação binária em S.

Passo 3

Análise algébrica da expressão, mostrando detalhes passo a passo.
Para a\neq b podemos fatorar o numerador:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Substituindo na expressão:
\frac{a^{2}-b^{2}}{a-b}=\frac{(a-b)(a+b)}{a-b}.
Se a-b\neq0 podemos cancelar o fator a-b nos dois lados e obtemos
\frac{a^{2}-b^{2}}{a-b}=a+b \qquad\text{(válido somente quando \(a\neq b\)).}á
Observação importante: a simplificação acima NÃO é válida quando a=b, porque aí teríamos \tfrac{0}{0}, uma expressão indefinida. Não se pode “cancelar” quando o fator cancelado pode ser zero.

Passo 4

Verificação direta da definição da operação em cada conjunto, usando exemplos concretos (para evidenciar a existência de pares que causam problema).
  • Em \mathbb{N}: escolha a=b=1 (note que (1,1)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}). A fórmula dá
\frac{1^{2}-1^{2}}{1-1}=\frac{0}{0},
que é indefinido. Logo a regra não fornece um valor para o par (1,1). Portanto não é uma operação binária em \mathbb{N}.
  • Em \mathbb{Z}: escolha a=b=0. Então
\frac{0^{2}-0^{2}}{0-0}=\frac{0}{0},
indefinido. Logo não é operação binária em \mathbb{Z}.
  • Em \mathbb{Q}: escolha a=b=\tfrac{1}{2}. Então
\frac{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}}{\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}}=\frac{0}{0},
indefinido. Logo não é operação binária em \mathbb{Q}.
Em todos os três conjuntos existe pelo menos um par (a,a) para o qual a fórmula é indefinida, o que viola a exigência de estar definida para todo S\times S.

Passo 5

Comentário adicional didático (útil para a prova, sem alterar a resposta): para a\neq b a expressão coincide com a+b, e a+b pertence a \mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q} quando a,b pertencem respectivamente a esses conjuntos — isto mostra que, quando definida, a regra dá um resultado dentro do conjunto (fechamento). O problema é exclusivamente a ausência de definição quando a=b.
Se alguém quisesse forçar a existência de uma operação binária com comportamento semelhante, seria preciso definir explicitamente o valor também para os casos a=b (por exemplo definindo o valor como 2a); só então a nova regra, assim completada, seria uma operação binária (e nessa nova versão ela coincidiria com a+b para todos os pares). Mas isso seria outra operação, não a dada no enunciado.

Resposta

Não é operação binária em \mathbb{N}.
Não é operação binária em \mathbb{Z}.
Não é operação binária em \mathbb{Q}.

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