Mostre que o operador F: R^3 R^3 projeção sobre o plano x y, dado por F(x, y, z)= (x, y, 0), é idempotente, ou seja F^2=F.

Passo 1

O enunciado define o operador
Fcolon R^3toR^3
por
F(x,y,z) = (x,y,0),
que é a projeção de (x,y,z) sobre o plano xy. Precisamos mostrar que F é idempotente, isto é, que
F^2 = F

Passo 2

Para calcular F^2(x,y,z), aplicamos F duas vezes:
F^2(x,y,z) = Fl(F(x,y,z)r)
Como F(x,y,z)=(x,y,0), temos
Fl(F(x,y,z)r) = Fl((x,y,0)r) = (x,y,0)

Passo 3

Observamos que
F^2(x,y,z) = (x,y,0) = F(x,y,z)
para todo (x,y,z)inR^3. Logo, F^2 = F, isto é, F é idempotente.

Resposta

F^2 = F.

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