O conjunto e^3 t, t e^3 t, t^2 e^3 t é uma base de um espaço vetorial V de funções reais ^[ Nota 2]. Seja D: V V o operador diferencial D(f)=d fd t. Obtenha a matriz de D na base dada.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial gerado pela base
e o operador dado por
Para achar a matriz de em , vamos calcular em cada vetor da base e expressar o resultado como combinação linear dos vetores de .

Passo 2

Calculemos
Como , as coordenadas de em são

Passo 3

Agora
Logo

Passo 4

Finalmente,
de onde

Passo 5

Colocando essas colunas na ordem dos vetores e^3t,,t e^3t,,t^2 e^3t, obtemos a matriz de D em B:
[D] B = 3 & 1 & 0 0 & 3 & 2 0 & 0 & 3

Resposta

[D] B = 3 & 1 & 0 0 & 3 & 2 0 & 0 & 3

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