Mostre que o operador linear
definido por
é um operador autoadjunto com o produto interno usual em
, isto é, mostre que
Passo 1
O enunciado nos dá o operador linear
definido por
Pede-se para mostrar que, com o produto interno usual em
,
Lista das informações relevantes fornecidas:
- A fórmula de
(acima). - O produto interno é o usual em
(isto é, o produto escalar coordenada a coordenada).
A tarefa é verificar a igualdade indicada para quaisquer vetorese .
Passo 2
Relembre o que é o produto interno usual em
e como usá‑lo aqui.
O produto interno usual entre dois vetores e
é definido por
O produto interno usual entre dois vetores
Explicando as variáveis:
são as coordenadas do primeiro vetor,
as do segundo; multiplicam‑se as coordenadas correspondentes e soma‑se o resultado. Essa operação é bilinear e simétrica, o que permite trocar os papéis dos vetores se desejarmos, mas aqui vamos apenas aplicar a definição diretamente.
Passo 3
Calcule explicitamente
e
para usar na definição do produto interno.
Pelo enunciado:
Pelo enunciado:
Passo 4
Compute
aplicando a definição do produto interno.
Usando com
e
, obtemos
Usando
Agora desenvolvendo as multiplicações e somando termos semelhantes:
Passo 5
Compute
da mesma forma, para comparar.
Usando e
, temos
Usando
Desenvolvendo:
Passo 6
Compare as duas expressões obtidas e conclua.
Das contas:
Das contas:
As duas expressões são idênticas (ordem dos termos não altera a soma), logo
para todo
. Isto mostra exatamente que
é autoadjunto relativamente ao produto interno usual.