Mostre que o operador linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definido por T(x, y)=(x+y, x-y) é um operador autoadjunto com o produto interno usual em \mathbb{R}^{2}, isto é, mostre que
\langle(a, b), T(x, y)\rangle=\langle T(a, b),(x, y)\rangle, \forall(a, b),(x, y) \in \mathbb{R}^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá o operador linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definido por
T(x,y)=(x+y,\;x-y).
Pede-se para mostrar que, com o produto interno usual em \mathbb{R}^2,
\langle (a,b),\,T(x,y)\rangle=\langle T(a,b),\,(x,y)\rangle\quad\text{para todo }(a,b),(x,y)\in\mathbb{R}^2.
Lista das informações relevantes fornecidas:
  • A fórmula de T (acima).
  • O produto interno é o usual em \mathbb{R}^2 (isto é, o produto escalar coordenada a coordenada).
    A tarefa é verificar a igualdade indicada para quaisquer vetores (a,b) e (x,y).

Passo 2

Relembre o que é o produto interno usual em \mathbb{R}^2 e como usá‑lo aqui.
O produto interno usual entre dois vetores (u_1,u_2) e (v_1,v_2) é definido por
\langle (u_1,u_2),\,(v_1,v_2)\rangle = u_1 v_1 + u_2 v_2.
Explicando as variáveis: u_1,u_2 são as coordenadas do primeiro vetor, v_1,v_2 as do segundo; multiplicam‑se as coordenadas correspondentes e soma‑se o resultado. Essa operação é bilinear e simétrica, o que permite trocar os papéis dos vetores se desejarmos, mas aqui vamos apenas aplicar a definição diretamente.

Passo 3

Calcule explicitamente T(x,y) e T(a,b) para usar na definição do produto interno.
Pelo enunciado:
T(x,y)=(x+y,\;x-y), \qquad T(a,b)=(a+b,\;a-b).

Passo 4

Compute \langle (a,b),\,T(x,y)\rangle aplicando a definição do produto interno.
Usando \langle (u_1,u_2),(v_1,v_2)\rangle = u_1 v_1 + u_2 v_2 com (u_1,u_2)=(a,b) e (v_1,v_2)=T(x,y)=(x+y,x-y), obtemos
\langle (a,b),\,T(x,y)\rangle = a\cdot(x+y) + b\cdot(x-y).
Agora desenvolvendo as multiplicações e somando termos semelhantes:
a(x+y)+b(x-y)=ax + ay + bx - by.

Passo 5

Compute \langle T(a,b),\,(x,y)\rangle da mesma forma, para comparar.
Usando (u_1,u_2)=T(a,b)=(a+b,a-b) e (v_1,v_2)=(x,y), temos
\langle T(a,b),\,(x,y)\rangle = (a+b)\cdot x + (a-b)\cdot y.
Desenvolvendo:
(a+b)x + (a-b)y = ax + bx + ay - by.

Passo 6

Compare as duas expressões obtidas e conclua.
Das contas:
\langle (a,b),\,T(x,y)\rangle = ax + ay + bx - by,
\langle T(a,b),\,(x,y)\rangle = ax + bx + ay - by.
As duas expressões são idênticas (ordem dos termos não altera a soma), logo
\langle (a,b),\,T(x,y)\rangle = \langle T(a,b),\,(x,y)\rangle
para todo (a,b),(x,y)\in\mathbb{R}^2. Isto mostra exatamente que T é autoadjunto relativamente ao produto interno usual.

Resposta

T é autoadjunto: \langle (a,b),\,T(x,y)\rangle=\langle T(a,b),\,(x,y)\rangle para todo (a,b),(x,y)\in\mathbb{R}^2.

Exercícios relacionados