Assinale verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique cada escolha (utilize a outra pá organização):
() Se a transformação linear
é injetiva então
() Se
é sobrejetiva então
() Se
são tais que
então
( ) Se
é gerado pelos vetores
então a imagem do operador
tem dimensão 2.
() Se a transformação linear
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas. São quatro afirmações que devemos classificar como verdadeiras (V) ou falsas (F) e justificar cada escolha:
- () Se a transformação linear
é injetiva então
- () Se
é sobrejetiva então
- () Se
são tais que então
- () Se
é gerado pelos vetores então a imagem do operador
tem dimensão
.
Passo 2
Antes de entrar nas afirmações, alguns conceitos e fórmulas fundamentais (explicados de forma bem direta):
-
Definições:
- O núcleo (ou núcleo/zero) de
é . - A imagem de
é . - A transformação é injetiva se só o vetor
vai para , isto é, . - A transformação é sobrejetiva se
.
- O núcleo (ou núcleo/zero) de
-
Teorema fundamental (Teorema da Dimensão ou Rank-Nullity):onde
e . -
Observações úteis:
- Para
vale sempre . - Se
é injetiva então . Pela rank-nullity segue . Isso implica, em particular, que necessariamente . - Se
é sobrejetiva então . Pela rank-nullity segue . Isso implica .
- Para
Passo 3
Afirmação 1: “Se
é injetiva então
.”
Raciocínio:
- Injetividade significa
, portanto . - Aplicando rank-nullity:
- Lembre que
, então a igualdade dada é verdadeira. A observação adicional é que, se isso acontece, então necessariamente (pois o posto não pode exceder ). Mas a afirmação não exige essa condição explicitamente — ela segue da injetividade.
Conclusão: a afirmação 1 é verdadeira.
Passo 4
Afirmação 2: “Se
é sobrejetiva então
.”
Raciocínio:
- Sobrejetiva significa
, então . - Aplicando rank-nullity:
- Em particular, isso exige
, mas isso também é consequência da sobrejetividade.
Conclusão: a afirmação 2 é verdadeira.
Passo 5
Afirmação 3: “Se
e
então
.”
Raciocínio e contraexemplo (mostrando que é falsa):
- A hipótese só diz que os postos de
e são iguais; isso não impõe como as imagens se localizam geometricamente (podem ser subespaços diferentes). - Construção concreta em
(exemplo simples e muito comum): defina projeções em eixos distintos. - Tome
Aqui projeta sobre o eixo e projeta sobre o eixo . - Ambas têm
, então . - Calcule
: que é a transformação zero. Logo , que é diferente de . - O mesmo vale para
, também zero.
- Tome
- Assim, apesar de
e terem imagens com mesma dimensão, as composições podem ter posto menor (ou diferente). Portanto a afirmação é falsa.
Intuição didática: o posto mede dimensão, não localização. Dois subespaços de mesma dimensão podem ser quase ortogonais; compor operadores que “projétem” em subespaços distintos pode anular imagens.
Conclusão: a afirmação 3 é falsa.]
Passo 6
Afirmação 4: “Se
é gerado por
então a imagem de
tem dimensão
.”
Raciocínio:
- Interpretação cuidadosa: dizer que
é gerado por significa que . Mas a dimensão do espaço gerado por três vetores pode ser , ou , dependendo da independência linear desses vetores. - Se
forem linearmente independentes, então e então, pela rank-nullity, Nessa situação a conclusão seria correta. - Porém, se os três vetores forem linearmente dependentes (por exemplo,
), eles ainda geram o mesmo núcleo, mas a dimensão do núcleo pode ser (ou mesmo se dois forem múltiplos um do outro). - Exemplo concreto que mostra que a afirmação, tal como escrita, não é necessariamente verdadeira:
- Considere a aplicação
que zera as duas primeiras coordenadas e mantém as três últimas (explicitamente, em base canônica, a matriz): - Para essa
, , que tem dimensão . - Observe que
também é gerado pelos três vetores . Ou seja, é de fato gerada por três vetores (com dependência linear), mas sua dimensão é . - Assim
, não .
- Para essa
- Considere a aplicação
- Conclusão: apenas saber que o núcleo é “gerado por três vetores” não garante que a dimensão do núcleo seja
; pode ser menor. Logo não se pode afirmar com certeza que a imagem tem dimensão .
Conclusão: a afirmação 4 é falsa (por ambiguidade/possibilidade de dependência linear entre os três geradores).]
Resposta
(V)
(V)
(F)
(F)
(V)
(F)
(F)