Assinale verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique cada escolha (utilize a outra pá organização):
() Se a transformação linear A: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n} é injetiva então
\operatorname{dim} \operatorname{Im}(A)=m .
() Se A: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n} é sobrejetiva então
\operatorname{dim} \mathcal{N}(A)=m-n .
() Se A, B \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{n}\right) são tais que \operatorname{dim} \operatorname{Im}(A)=\operatorname{dim} \operatorname{Im}(B) então
\operatorname{dim} \operatorname{Im}(A B)=\operatorname{dim} \operatorname{Im}(B A)=\operatorname{dim} \operatorname{Im}(A) .
( ) Se \mathcal{N}(A) é gerado pelos vetores v_{1}, v_{2}, v_{3} então a imagem do operador
A: \mathbb{R}^{5} \rightarrow \mathbb{R}^{5}
tem dimensão 2.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas. São quatro afirmações que devemos classificar como verdadeiras (V) ou falsas (F) e justificar cada escolha:
  1. () Se a transformação linear A: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n} é injetiva então
\operatorname{dim}\operatorname{Im}(A)=m.
  1. () Se A: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n} é sobrejetiva então
\operatorname{dim}\mathcal{N}(A)=m-n.
  1. () Se A, B \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{n}\right) são tais que \operatorname{dim}\operatorname{Im}(A)=\operatorname{dim}\operatorname{Im}(B) então
\operatorname{dim}\operatorname{Im}(AB)=\operatorname{dim}\operatorname{Im}(BA)=\operatorname{dim}\operatorname{Im}(A).
  1. () Se \mathcal{N}(A) é gerado pelos vetores v_{1},v_{2},v_{3} então a imagem do operador
A:\mathbb{R}^{5}\to\mathbb{R}^{5}
tem dimensão 2.

Passo 2

Antes de entrar nas afirmações, alguns conceitos e fórmulas fundamentais (explicados de forma bem direta):
  • Definições:
    • O núcleo (ou núcleo/zero) de A é \mathcal{N}(A)=\{x\in\mathbb{R}^m : A x=0\}.
    • A imagem de A é \operatorname{Im}(A)=\{Ax : x\in\mathbb{R}^m\}\subseteq\mathbb{R}^n.
    • A transformação é injetiva se só o vetor 0 vai para 0, isto é, \mathcal{N}(A)=\{0\}.
    • A transformação é sobrejetiva se \operatorname{Im}(A)=\mathbb{R}^n.
  • Teorema fundamental (Teorema da Dimensão ou Rank-Nullity):
    \operatorname{rank}(A)+\operatorname{nullity}(A)=m,
    onde \operatorname{rank}(A)=\operatorname{dim}\operatorname{Im}(A) e \operatorname{nullity}(A)=\operatorname{dim}\mathcal{N}(A).
  • Observações úteis:
    • Para A:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n vale sempre \operatorname{rank}(A)\le \min\{m,n\}.
    • Se A é injetiva então \operatorname{nullity}(A)=0. Pela rank-nullity segue \operatorname{rank}(A)=m. Isso implica, em particular, que necessariamente m\le n.
    • Se A é sobrejetiva então \operatorname{rank}(A)=n. Pela rank-nullity segue \operatorname{nullity}(A)=m-n. Isso implica m\ge n.

Passo 3

Afirmação 1: “Se A é injetiva então \operatorname{dim}\operatorname{Im}(A)=m.”
Raciocínio:
  • Injetividade significa \mathcal{N}(A)=\{0\}, portanto \operatorname{nullity}(A)=0.
  • Aplicando rank-nullity: \operatorname{rank}(A)+0=m \quad\Rightarrow\quad \operatorname{rank}(A)=m.
  • Lembre que \operatorname{rank}(A)=\operatorname{dim}\operatorname{Im}(A), então a igualdade dada é verdadeira. A observação adicional é que, se isso acontece, então necessariamente m\le n (pois o posto não pode exceder n). Mas a afirmação não exige essa condição explicitamente — ela segue da injetividade.
Conclusão: a afirmação 1 é verdadeira.

Passo 4

Afirmação 2: “Se A é sobrejetiva então \operatorname{dim}\mathcal{N}(A)=m-n.”
Raciocínio:
  • Sobrejetiva significa \operatorname{Im}(A)=\mathbb{R}^n, então \operatorname{rank}(A)=n.
  • Aplicando rank-nullity: n+\operatorname{nullity}(A)=m \quad\Rightarrow\quad \operatorname{nullity}(A)=m-n.
  • Em particular, isso exige m\ge n, mas isso também é consequência da sobrejetividade.
Conclusão: a afirmação 2 é verdadeira.

Passo 5

Afirmação 3: “Se A,B\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n) e \operatorname{dim}\operatorname{Im}(A)=\operatorname{dim}\operatorname{Im}(B) então
\operatorname{dim}\operatorname{Im}(AB)=\operatorname{dim}\operatorname{Im}(BA)=\operatorname{dim}\operatorname{Im}(A).”
Raciocínio e contraexemplo (mostrando que é falsa):
  • A hipótese só diz que os postos de A e B são iguais; isso não impõe como as imagens se localizam geometricamente (podem ser subespaços diferentes).
  • Construção concreta em \mathbb{R}^2 (exemplo simples e muito comum): defina projeções em eixos distintos.
    • Tome A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.Aqui A projeta sobre o eixo x e B projeta sobre o eixo y.
    • Ambas têm \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(B)=1, então \operatorname{dim}\operatorname{Im}(A)=\operatorname{dim}\operatorname{Im}(B)=1.
    • Calcule AB: AB=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},que é a transformação zero. Logo \operatorname{dim}\operatorname{Im}(AB)=0, que é diferente de 1.
    • O mesmo vale para BA, também zero.
  • Assim, apesar de A e B terem imagens com mesma dimensão, as composições podem ter posto menor (ou diferente). Portanto a afirmação é falsa.
Intuição didática: o posto mede dimensão, não localização. Dois subespaços de mesma dimensão podem ser quase ortogonais; compor operadores que “projétem” em subespaços distintos pode anular imagens.
Conclusão: a afirmação 3 é falsa.]

Passo 6

Afirmação 4: “Se \mathcal{N}(A) é gerado por v_{1},v_{2},v_{3} então a imagem de A:\mathbb{R}^{5}\to\mathbb{R}^{5} tem dimensão 2.”
Raciocínio:
  • Interpretação cuidadosa: dizer que \mathcal{N}(A) é gerado por v_{1},v_{2},v_{3} significa que \mathcal{N}(A)=\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}. Mas a dimensão do espaço gerado por três vetores pode ser 1, 2 ou 3, dependendo da independência linear desses vetores.
  • Se \{v_1,v_2,v_3\} forem linearmente independentes, então \operatorname{dim}\mathcal{N}(A)=3 e então, pela rank-nullity, \operatorname{dim}\operatorname{Im}(A)=5-3=2.Nessa situação a conclusão seria correta.
  • Porém, se os três vetores forem linearmente dependentes (por exemplo, v_3=v_1+v_2), eles ainda geram o mesmo núcleo, mas a dimensão do núcleo pode ser 2 (ou mesmo 1 se dois forem múltiplos um do outro).
  • Exemplo concreto que mostra que a afirmação, tal como escrita, não é necessariamente verdadeira:
    • Considere a aplicação A:\mathbb{R}^5\to\mathbb{R}^5 que zera as duas primeiras coordenadas e mantém as três últimas (explicitamente, em base canônica, a matriz): A=\begin{pmatrix} 0&0&0&0&0\\[4pt] 0&0&0&0&0\\[4pt] 0&0&1&0&0\\[4pt] 0&0&0&1&0\\[4pt] 0&0&0&0&1 \end{pmatrix}.
      • Para essa A, \mathcal{N}(A)=\{(x_1,x_2,0,0,0):x_1,x_2\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{e_1,e_2\}, que tem dimensão 2.
      • Observe que \mathcal{N}(A) também é gerado pelos três vetores v_1=e_1,\;v_2=e_2,\;v_3=e_1+e_2. Ou seja, \mathcal{N}(A) é de fato gerada por três vetores (com dependência linear), mas sua dimensão é 2.
      • Assim \operatorname{dim}\operatorname{Im}(A)=5-2=3, não 2.
  • Conclusão: apenas saber que o núcleo é “gerado por três vetores” não garante que a dimensão do núcleo seja 3; pode ser menor. Logo não se pode afirmar com certeza que a imagem tem dimensão 2.
Conclusão: a afirmação 4 é falsa (por ambiguidade/possibilidade de dependência linear entre os três geradores).]

Resposta

(V)
(V)
(F)
(F)

Exercícios relacionados