23 Mostrar que: se uma matriz
de ordem
é inversível e satisfaz a equação:
, então
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Uma matriz
de ordem é inversível (ou seja, existe ). -
satisfaz a equação
A pergunta é: mostrar que
Passo 2
Lembrete e propriedades que vamos usar (com explicação didática):
- Definição de inversa: dizer que
é inversível significa que existe uma matriz tal que
Isto significa que multiplicar
por
(à esquerda ou à direita) dá a identidade
.
- Propriedade com potências: para todo inteiro
vale
Justificativa curta: por associatividade,
Isto é muito útil porque permite “reduzir” uma potência multiplicando por
.
Passo 3
Vamos aplicar essas ideias à equação dada. Partimos de
Podemos multiplicar ambos os lados dessa igualdade por
. Isso é permitido porque multiplicar uma equação matricial por uma mesma matriz (à esquerda ou à direita) preserva a igualdade; aqui escolhemos multiplicar à esquerda por
.
Passo 4
Multiplicando à esquerda por
obtemos
Agora aplicamos a propriedade do Passo 2 termo a termo:
-
, -
, -
, -
.
Substituindo esses resultados na igualdade anterior, obtemos
Passo 5
Comentário de verificação (útil para a prova): podemos também verificar multiplicando à direita por
o candidato encontrado. Se definirmos
, então
onde na última igualdade usamos a hipótese original. Assim
é uma inversa direita de
. De modo análogo,
logo
é também inversa esquerda. Portanto
coincide com
. Isso confirma o resultado obtido.