23 Mostrar que: se uma matriz A de ordem n é inversível e satisfaz a equação: A^{3}+6 A^{2}-2 A=I, então A^{-1}=A^{2}+6 A-2 I.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Uma matriz A de ordem n é inversível (ou seja, existe A^{-1}).
  • A satisfaz a equação
A^{3}+6A^{2}-2A=I.
A pergunta é: mostrar que
A^{-1}=A^{2}+6A-2I.

Passo 2

Lembrete e propriedades que vamos usar (com explicação didática):
  • Definição de inversa: dizer que A é inversível significa que existe uma matriz A^{-1} tal que
A^{-1}A = AA^{-1} = I.
Isto significa que multiplicar A por A^{-1} (à esquerda ou à direita) dá a identidade I.
  • Propriedade com potências: para todo inteiro k\ge 1 vale
A^{-1}A^{k}=A^{k-1} \qquad\text{e}\qquad A^{k}A^{-1}=A^{k-1}.
Justificativa curta: por associatividade,
A^{-1}A^{k}=A^{-1}(A\cdot A^{k-1})=(A^{-1}A)A^{k-1}=I\cdot A^{k-1}=A^{k-1}.
Isto é muito útil porque permite “reduzir” uma potência multiplicando por A^{-1}.

Passo 3

Vamos aplicar essas ideias à equação dada. Partimos de
A^{3}+6A^{2}-2A=I.
Podemos multiplicar ambos os lados dessa igualdade por A^{-1}. Isso é permitido porque multiplicar uma equação matricial por uma mesma matriz (à esquerda ou à direita) preserva a igualdade; aqui escolhemos multiplicar à esquerda por A^{-1}.

Passo 4

Multiplicando à esquerda por A^{-1} obtemos
A^{-1}\bigl(A^{3}+6A^{2}-2A\bigr)=A^{-1}I.
Agora aplicamos a propriedade do Passo 2 termo a termo:
  • A^{-1}A^{3}=A^{2},
  • A^{-1}\cdot 6A^{2}=6(A^{-1}A^{2})=6A,
  • A^{-1}\cdot(-2A)=-2(A^{-1}A)=-2I,
  • A^{-1}I=A^{-1}.
Substituindo esses resultados na igualdade anterior, obtemos
A^{2}+6A-2I = A^{-1}.

Passo 5

Comentário de verificação (útil para a prova): podemos também verificar multiplicando à direita por A o candidato encontrado. Se definirmos B=A^{2}+6A-2I, então
BA = (A^{2}+6A-2I)A = A^{3}+6A^{2}-2A = I,
onde na última igualdade usamos a hipótese original. Assim B é uma inversa direita de A. De modo análogo,
AB = A(A^{2}+6A-2I)=A^{3}+6A^{2}-2A=I,
logo B é também inversa esquerda. Portanto B coincide com A^{-1}. Isso confirma o resultado obtido.

Resposta

A^{-1}=A^{2}+6A-2I

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