Calcule a energia eletromagnética contida no interior de um cubo de lado L, num instante t genérico, para a onda plana e monocromática cujo campo elétrico é dado por \vec{E}=\mathrm{E}_{0} \cos (\mathrm{kx}-\omega \mathrm{t}) \hat{j}
Passo 1
O enunciado fornece o campo elétrico de uma onda plana monocromática:
Pede-se: calcular a energia eletromagnética contida no interior de um cubo de lado L, num instante genérico t.
Informações e convenções que vou adotar (tudo extraído do enunciado ou hipóteses padrão necessárias para resolver sem perguntar mais):
A onda propaga-se ao longo do eixo x (pois o argumento é kx-\omega t).
O campo elétrico está na direção y.
Trabalho em vácuo (constantes \varepsilon_{0} e \mu_{0} valem as do vácuo); isso é a hipótese usual quando não é dito o contrário.
O cubo tem arestas paralelas aos eixos coordenados e vou tomar suas coordenadas como x\in[0,L], y\in[0,L], z\in[0,L]. (Se o cubo estivesse deslocado ao longo de x, a expressão final mudaria apenas por termos trigonométricos com deslocamento; como não foi dado deslocamento, uso a posição padrão.)
O objetivo final: obter U(t)=\displaystyle\int_{\text{cubo}} u(\vec{r},t)\,dV, onde u é a densidade de energia eletromagnética.
Passo 2
Encontrar o campo magnético associado à onda (passo necessário porque a energia total tem contribuição elétrica e magnética).
Para uma onda eletromagnética plana em vácuo que se propaga em +x, com \vec{E} na direção y, o campo magnético tem direção z de modo que \vec{E}\times\vec{B} aponte para +x. A relação entre as amplitudes é
B = \frac{E}{c},
onde c é a velocidade da luz no vácuo. Assim o campo magnético é
Explicando um pouco: c satisfaz c^{2}=1/(\varepsilon_{0}\mu_{0}). A igualdade B=E/c vem da solução das equações de Maxwell para ondas planas (ou da condição de que os campos satisfeçam E = cB em amplitude no vácuo).
Passo 3
Escrever a densidade de energia eletromagnética e simplificar usando B=E/c.
A densidade de energia total (energia por unidade de volume) é a soma das densidades elétrica e magnética:
Observação didática: a função \cos^{2} oscila no tempo e no espaço entre 0 e 1; portanto a densidade de energia oscila entre 0 e \varepsilon_{0}E_{0}^{2}.
Passo 5
Calcular a energia total dentro do cubo integrando u sobre o volume V=[0,L]^{3}.