Calcule a energia eletromagnética contida no interior de um cubo de lado L, num instante t genérico, para a onda plana e monocromática cujo campo elétrico é dado por \vec{E}=\mathrm{E}_{0} \cos (\mathrm{kx}-\omega \mathrm{t}) \hat{j}

Passo 1

O enunciado fornece o campo elétrico de uma onda plana monocromática:
\vec{E}(\vec{r},t)=E_{0}\cos(kx-\omega t)\,\hat{\mathbf{y}}.
Pede-se: calcular a energia eletromagnética contida no interior de um cubo de lado L, num instante genérico t.
Informações e convenções que vou adotar (tudo extraído do enunciado ou hipóteses padrão necessárias para resolver sem perguntar mais):
  • A onda propaga-se ao longo do eixo x (pois o argumento é kx-\omega t).
  • O campo elétrico está na direção y.
  • Trabalho em vácuo (constantes \varepsilon_{0} e \mu_{0} valem as do vácuo); isso é a hipótese usual quando não é dito o contrário.
  • O cubo tem arestas paralelas aos eixos coordenados e vou tomar suas coordenadas como x\in[0,L], y\in[0,L], z\in[0,L]. (Se o cubo estivesse deslocado ao longo de x, a expressão final mudaria apenas por termos trigonométricos com deslocamento; como não foi dado deslocamento, uso a posição padrão.)
O objetivo final: obter U(t)=\displaystyle\int_{\text{cubo}} u(\vec{r},t)\,dV, onde u é a densidade de energia eletromagnética.

Passo 2

Encontrar o campo magnético associado à onda (passo necessário porque a energia total tem contribuição elétrica e magnética).
Para uma onda eletromagnética plana em vácuo que se propaga em +x, com \vec{E} na direção y, o campo magnético tem direção z de modo que \vec{E}\times\vec{B} aponte para +x. A relação entre as amplitudes é
B = \frac{E}{c},
onde c é a velocidade da luz no vácuo. Assim o campo magnético é
\vec{B}(\vec{r},t)=\frac{E_{0}}{c}\cos(kx-\omega t)\,\hat{\mathbf{z}}.
Explicando um pouco: c satisfaz c^{2}=1/(\varepsilon_{0}\mu_{0}). A igualdade B=E/c vem da solução das equações de Maxwell para ondas planas (ou da condição de que os campos satisfeçam E = cB em amplitude no vácuo).

Passo 3

Escrever a densidade de energia eletromagnética e simplificar usando B=E/c.
A densidade de energia total (energia por unidade de volume) é a soma das densidades elétrica e magnética:
u(\vec{r},t)=u_{E}+u_{B}=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}E^{2}+\frac{1}{2\mu_{0}}B^{2}.
Substituindo B^{2}=E^{2}/c^{2} e usando 1/( \mu_{0}c^{2})=\varepsilon_{0}, obtemos
u(\vec{r},t)=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}E^{2}+\frac{1}{2}\varepsilon_{0}E^{2}=\varepsilon_{0}E^{2}.
Ou seja, para onda plana em vácuo as energias elétrica e magnética são iguais e a densidade total é
u(\vec{r},t)=\varepsilon_{0}\,E^{2}(\vec{r},t).

Passo 4

Substituir o campo elétrico dado e escrever a densidade explícita em função de x e t.
Temos E(\vec{r},t)=E_{0}\cos(kx-\omega t), então
u(x,t)=\varepsilon_{0}E_{0}^{2}\cos^{2}(kx-\omega t).
Observação didática: a função \cos^{2} oscila no tempo e no espaço entre 0 e 1; portanto a densidade de energia oscila entre 0 e \varepsilon_{0}E_{0}^{2}.

Passo 5

Calcular a energia total dentro do cubo integrando u sobre o volume V=[0,L]^{3}.
A energia é
U(t)=\int_{0}^{L}\!\int_{0}^{L}\!\int_{0}^{L} u(x,t)\,dz\,dy\,dx =\varepsilon_{0}E_{0}^{2}\int_{0}^{L}\!\int_{0}^{L}\!\int_{0}^{L}\cos^{2}(kx-\omega t)\,dz\,dy\,dx.
As integrais em y e z apenas multiplicam por L^{2}, pois a densidade não depende de y nem de z:
U(t)=\varepsilon_{0}E_{0}^{2}L^{2}\int_{0}^{L}\cos^{2}(kx-\omega t)\,dx.

Passo 6

Fazer a integral em x. Usar a identidade \cos^{2}\theta=\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}.
\int_{0}^{L}\cos^{2}(kx-\omega t)\,dx =\int_{0}^{L}\frac{1+\cos(2kx-2\omega t)}{2}\,dx =\frac{L}{2}+\frac{1}{2}\int_{0}^{L}\cos(2kx-2\omega t)\,dx.
Integral do cosseno:
\int_{0}^{L}\cos(2kx-2\omega t)\,dx=\left.\frac{\sin(2kx-2\omega t)}{2k}\right|_{0}^{L} =\frac{\sin(2kL-2\omega t)-\sin(-2\omega t)}{2k}.
Como \sin(-2\omega t)=-\sin(2\omega t), isso fica
\int_{0}^{L}\cos^{2}(kx-\omega t)\,dx=\frac{L}{2}+\frac{\sin(2kL-2\omega t)+\sin(2\omega t)}{4k}.

Passo 7

Combinar tudo para escrever a energia total U(t).
Multiplicando por \varepsilon_{0}E_{0}^{2}L^{2} obtemos
U(t)=\varepsilon_{0}E_{0}^{2}L^{2}\left(\frac{L}{2}+\frac{\sin(2kL-2\omega t)+\sin(2\omega t)}{4k}\right).
Uma forma alternativa, usando identidades trigonométricas para simplificar a soma de senos, é
U(t)=\varepsilon_{0}E_{0}^{2}L^{2}\left(\frac{L}{2}+\frac{\cos(kL)\,\sin(kL-2\omega t)}{2k}\right),
mas ambas as expressões são equivalentes.

Resposta

U(t)=\varepsilon_{0}E_{0}^{2}L^{2}\left(\frac{L}{2}+\frac{\sin(2kL-2\omega t)+\sin(2\omega t)}{4k}\right)

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