Considere uma onda eletromagnética plana e monocromática propagando-se no vácuo, cujo campo elétrico é dado por
a) Determine o vetor campo magnético
correspondente.
b) Calcule o Vetor de Poynting instantâneo
e demonstre que, embora os campos oscilem, o fluxo de energia desta onda específica é constante no tempo.
a) Determine o vetor campo magnético
b) Calcule o Vetor de Poynting instantâneo
Passo 1
- Enunciado (o que o problema dá): o campo elétrico de uma onda plana monocromática que se propaga no vácuo é
As constantes fornecidas são
(amplitude do campo elétrico),
(número de onda) e
(frequência angular). A direção de propagação é o eixo
.
- O que o problema pede:
(a) determinar o vetor campo magnéticocorrespondente;
(b) calcular o vetor de Poynting instantâneoe demonstrar que o fluxo de energia desta onda é constante no tempo, mesmo com campos oscilantes.
Passo 2
(Conceitos e fórmulas que serão usados — explicação didática)
- Em vácuo, para uma onda eletromagnética plana propagando-se na direção
(aqui ), os campos e são perpendiculares entre si e perpendiculares a . Uma relação direta muito útil é
onde
é a velocidade da luz no vácuo e vale
- Motivação física curta (sem entrar em demonstração extensa): essa relação vem das equações de Maxwell em vácuo para soluções em forma de onda plana; ela garante que
, e formem um triângulo ortogonal com magnitudes relacionadas por . - O vetor de Poynting instantâneo em unidades SI é dado por
e representa a densidade de fluxo de potência (energia por unidade de área por unidade de tempo). Nosso objetivo será calcular explicitamente
e verificar se depende ou não de
.
Passo 3
(Aplicando a fórmula
)
- Defina a fase
para simplificar a escrita. - Como
, calcule e : - Agora aplique a fórmula:
- Substituindo os produtos vetoriais:
- Reordenando os componentes (colocando
e em ordem padrão): - Observação didática: desta forma vê‑se que
(pois ) e (produto escalar nulo), como deve ocorrer para ondas no vácuo.
Passo 4
(Verificação rápida da ortogonalidade e das magnitudes — passo a passo)
- Produto escalar
: Portanto . - Magnitudes:
Isso confirma a relação .
Passo 5
(Cálculo do vetor de Poynting
)
- Calcule
usando apenas a componente (pois e têm apenas componentes ): Aqui e . - Então
- Pelo identidade trigonométrica
, obtém‑se - Finalmente, o vetor de Poynting é
- Simplificação útil: utilizando
verifica‑se a identidade . Assim uma forma alternativa é
Passo 6
(Demonstração de que o fluxo de energia é constante no tempo e interpretação física)
- Note que o resultado final para
não contém , ou seja, não depende de nem de . Portanto o vetor de Poynting instantâneo é constante no tempo e aponta na direção de propagação . - Interpretação física: apesar de
e oscilaram no plano transversal, nesta onda específica (polarização circular com amplitude constante) a combinação tem magnitude constante. Isso significa que a energia transportada por unidade de área por unidade de tempo é uniforme e contínua — não há flutuações temporais no fluxo de energia instantâneo desta onda circularmente polarizada.