Considere uma onda eletromagnética plana e monocromática propagando-se no vácuo, cujo campo elétrico é dado por \vec{E}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=\mathrm{E}_{0} \cos (\mathrm{kz}-\omega \mathrm{t}) \hat{i}+\mathrm{E}_{0} \sin (\mathrm{kz}-\omega \mathrm{t}) \hat{j}
a) Determine o vetor campo magnético \vec{B}(\mathrm{z}, \mathrm{t}) correspondente.
b) Calcule o Vetor de Poynting instantâneo \vec{S} e demonstre que, embora os campos oscilem, o fluxo de energia desta onda específica é constante no tempo.

Passo 1

  • Enunciado (o que o problema dá): o campo elétrico de uma onda plana monocromática que se propaga no vácuo é
\vec{E}(z,t)=E_{0}\cos(kz-\omega t)\,\hat{i}+E_{0}\sin(kz-\omega t)\,\hat{j}.
As constantes fornecidas são E_{0} (amplitude do campo elétrico), k (número de onda) e \omega (frequência angular). A direção de propagação é o eixo z.
  • O que o problema pede:
    (a) determinar o vetor campo magnético \vec{B}(z,t) correspondente;
    (b) calcular o vetor de Poynting instantâneo \vec{S} e demonstrar que o fluxo de energia desta onda é constante no tempo, mesmo com campos oscilantes.

Passo 2

(Conceitos e fórmulas que serão usados — explicação didática)
  • Em vácuo, para uma onda eletromagnética plana propagando-se na direção \hat{k} (aqui \hat{k}=\hat{z}), os campos \vec{E} e \vec{B} são perpendiculares entre si e perpendiculares a \hat{k}. Uma relação direta muito útil é
\vec{B}=\frac{1}{c}\,\hat{k}\times\vec{E},
onde c é a velocidade da luz no vácuo e vale
c=\frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}}.
  • Motivação física curta (sem entrar em demonstração extensa): essa relação vem das equações de Maxwell em vácuo para soluções em forma de onda plana; ela garante que \vec{E}, \vec{B} e \hat{k} formem um triângulo ortogonal com magnitudes relacionadas por |\vec{B}|=|\vec{E}|/c.
  • O vetor de Poynting instantâneo em unidades SI é dado por
\vec{S}=\frac{1}{\mu_{0}}\,\vec{E}\times\vec{B},
e representa a densidade de fluxo de potência (energia por unidade de área por unidade de tempo). Nosso objetivo será calcular explicitamente \vec{E}\times\vec{B} e verificar se depende ou não de t.

Passo 3

(Aplicando a fórmula \vec{B}=\dfrac{1}{c}\hat{k}\times\vec{E})
  • Defina a fase \varphi=kz-\omega t para simplificar a escrita.
  • Como \hat{k}=\hat{z}, calcule \hat{z}\times\hat{i} e \hat{z}\times\hat{j}: \hat{z}\times\hat{i}=\hat{y},\qquad \hat{z}\times\hat{j}=-\hat{i}.
  • Agora aplique a fórmula: \vec{B}(z,t)=\frac{1}{c}\,\hat{z}\times\vec{E} =\frac{1}{c}\left[\;E_{0}\cos\varphi\;(\hat{z}\times\hat{i})+E_{0}\sin\varphi\;(\hat{z}\times\hat{j})\;\right].
  • Substituindo os produtos vetoriais: \vec{B}(z,t)=\frac{E_{0}}{c}\Big(\cos\varphi\,\hat{y}-\sin\varphi\,\hat{i}\Big).
  • Reordenando os componentes (colocando \hat{i} e \hat{j} em ordem padrão): \vec{B}(z,t)=\frac{E_{0}}{c}\big(-\sin\varphi\,\hat{i}+\cos\varphi\,\hat{j}\big).
  • Observação didática: desta forma vê‑se que |\vec{B}|=E_{0}/c (pois \sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi=1) e \vec{E}\perp\vec{B} (produto escalar nulo), como deve ocorrer para ondas no vácuo.

Passo 4

(Verificação rápida da ortogonalidade e das magnitudes — passo a passo)
  • Produto escalar \vec{E}\cdot\vec{B}: \vec{E}\cdot\vec{B}=E_{0}\cos\varphi\cdot\left(-\frac{E_{0}}{c}\sin\varphi\right)+E_{0}\sin\varphi\cdot\left(\frac{E_{0}}{c}\cos\varphi\right)=0.Portanto \vec{E}\perp\vec{B}.
  • Magnitudes: |\vec{E}|=E_{0}\sqrt{\cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi}=E_{0},\qquad |\vec{B}|=\frac{E_{0}}{c}\sqrt{\sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi}=\frac{E_{0}}{c}.Isso confirma a relação |\vec{B}|=|\vec{E}|/c.

Passo 5

(Cálculo do vetor de Poynting \vec{S}=\dfrac{1}{\mu_{0}}\vec{E}\times\vec{B})
  • Calcule \vec{E}\times\vec{B} usando apenas a componente z (pois E e B têm apenas componentes x,y): \vec{E}\times\vec{B}=\big(E_x B_y - E_y B_x\big)\hat{z}.Aqui E_x=E_{0}\cos\varphi,\; E_y=E_{0}\sin\varphi e B_x=-(E_{0}/c)\sin\varphi,\; B_y=(E_{0}/c)\cos\varphi.
  • Então E_x B_y - E_y B_x =E_{0}\cos\varphi\cdot\frac{E_{0}}{c}\cos\varphi - E_{0}\sin\varphi\cdot\left(-\frac{E_{0}}{c}\sin\varphi\right) =\frac{E_{0}^{2}}{c}\big(\cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi\big).
  • Pelo identidade trigonométrica \cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi=1, obtém‑se \vec{E}\times\vec{B}=\frac{E_{0}^{2}}{c}\,\hat{z}.
  • Finalmente, o vetor de Poynting é \vec{S}=\frac{1}{\mu_{0}}\,\vec{E}\times\vec{B}=\frac{E_{0}^{2}}{\mu_{0}\,c}\,\hat{z}.
  • Simplificação útil: utilizando c=1/\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}} verifica‑se a identidade 1/(\mu_{0}c)=\varepsilon_{0}c. Assim uma forma alternativa é \vec{S}=\varepsilon_{0}\,c\,E_{0}^{2}\,\hat{z}.

Passo 6

(Demonstração de que o fluxo de energia é constante no tempo e interpretação física)
  • Note que o resultado final para \vec{S} não contém \varphi, ou seja, não depende de z nem de t. Portanto o vetor de Poynting instantâneo é constante no tempo e aponta na direção de propagação +\hat{z}.
  • Interpretação física: apesar de \vec{E} e \vec{B} oscilaram no plano transversal, nesta onda específica (polarização circular com amplitude constante) a combinação \vec{E}\times\vec{B} tem magnitude constante. Isso significa que a energia transportada por unidade de área por unidade de tempo é uniforme e contínua — não há flutuações temporais no fluxo de energia instantâneo desta onda circularmente polarizada.

Resposta

\displaystyle \vec{B}(z,t)=\frac{E_{0}}{c}\big(-\sin(kz-\omega t)\,\hat{i}+\cos(kz-\omega t)\,\hat{j}\big)
\displaystyle \vec{S}=\frac{E_{0}^{2}}{\mu_{0}\,c}\,\hat{z}=\varepsilon_{0}\,c\,E_{0}^{2}\,\hat{z}

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