Mostre que \operatorname{tg} 40^{\circ}+\operatorname{tg} 20^{\circ}=4 \sqrt{3} \operatorname{sen} 10^{\circ}.

Passo 1

O que queremos mostrar é a identidade trigonométrica
\tan40^\circ+\tan20^\circ \;=\;4\sqrt{3}\,\sin10^\circ.
O conteúdo principal envolve escrita de tangente em termos de seno e cosseno, soma de ângulos em senos, e fórmulas de produto de cossenos e produto de senos por cossenos.

Passo 2

Escrevemos cada tangente como razão de seno por cosseno e somamos:
\tan40^\circ+\tan20^\circ =\frac{\sin40^\circ}{\cos40^\circ}+\frac{\sin20^\circ}{\cos20^\circ} =\frac{\sin40^\circ\cos20^\circ+\sin20^\circ\cos40^\circ}{\cos40^\circ\cos20^\circ}.
Pela fórmula do seno da soma,
\sin40^\circ\cos20^\circ+\sin20^\circ\cos40^\circ =\sin(40^\circ+20^\circ) =\sin60^\circ.
Logo
\tan40^\circ+\tan20^\circ =\frac{\sin60^\circ}{\cos40^\circ\cos20^\circ}.

Passo 3

Substituímos \sin60^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2} e usamos a fórmula de produto de cossenos:
\cos40^\circ\cos20^\circ =\tfrac12\bigl(\cos(40^\circ+20^\circ)+\cos(40^\circ-20^\circ)\bigr) =\tfrac12\bigl(\cos60^\circ+\cos20^\circ\bigr) =\tfrac12\Bigl(\tfrac12+\cos20^\circ\Bigr).
Portanto
\tan40^\circ+\tan20^\circ =\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\cos40^\circ\cos20^\circ} =\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac12\bigl(\frac12+\cos20^\circ\bigr)} =\frac{\sqrt3}{\frac12+\cos20^\circ}.

Passo 4

Para concluir, basta mostrar que
\frac1{\frac12+\cos20^\circ} =4\,\sin10^\circ.
Equivalente a
1 = 4\,\sin10^\circ\bigl(\tfrac12+\cos20^\circ\bigr) =4\sin10^\circ\cos20^\circ +2\sin10^\circ.
Agora usamos a fórmula produto-para-soma em 2\sin10^\circ\cos20^\circ:
2\sin10^\circ\cos20^\circ =\sin(10^\circ+20^\circ)+\sin(10^\circ-20^\circ) =\sin30^\circ+\sin(-10^\circ) =\tfrac12-\sin10^\circ.
Então
4\sin10^\circ\cos20^\circ+2\sin10^\circ =2\bigl(2\sin10^\circ\cos20^\circ\bigr)+2\sin10^\circ =2\bigl(\tfrac12-\sin10^\circ\bigr)+2\sin10^\circ =1-2\sin10^\circ+2\sin10^\circ =1.
Isso prova a igualdade desejada.

Resposta

\tan40^\circ+\tan20^\circ=4\sqrt{3}\,\sin10^\circ.

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