Obtenha um polinômio de coeficientes inteiros que admita sen
como raiz. Determine as outras raízes e prove que sen
não pode ser escrito na forma
, onde
e
são inteiros, ou seja, é um número irracional. Sugestão: Use o Exercício 26.
Passo 1
O enunciado pede um polinômio de coeficientes inteiros que tenha
como raiz, além de determinar as outras raízes e mostrar que
é irracional. Vamos usar a fórmula do triplo ângulo para o seno (Exercício 26):
e o fato de que
.
Passo 2
Tomando
, a fórmula do triplo ângulo dá
Como
, segue
onde
. Multiplicando por 2,
Assim um polinômio com coeficientes inteiros que anula
é
Passo 3
Para achar as outras raízes, note que
satisfaz
. As soluções gerais de
são
Logo, em
obtemos as soluções
Mod
, há três valores distintos de
cujos senos são raízes de
:
ou, mais convenientemente,
(já que
e
, mas
dá a mesma raiz de
).
Passo 4
Para provar que
é irracional, aplicamos o teste de raízes racionais em
. Se
(com
) fosse raiz, então
e
. Os candidatos racionais são
Nenhum desses valores equivale ao valor aproximado
. Portanto
não é racional.
Resposta
O polinômio de coeficientes inteiros é
suas raízes são
e pelo teste de raízes racionais concluímos que
é irracional.