Mostre que
\operatorname{cosh} 2 z=\left\{\begin{array}{l}\operatorname{cosh} ^{2} z+\operatorname{sinh} ^{2} z \\\\ 2 \operatorname{cosh} ^{2} z-1 \\\\ 2 \operatorname{sinh} ^{2} z+1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos três fórmulas equivalentes para o cosseno hiperbólico de um ângulo duplo, ou seja, para \cosh2z. O conteúdo é manipulação algébrica das definições
\operatorname{cosh} w=\frac{e^{w}+e^{-w}}{2} \quad\text{e}\quad \operatorname{sinh} w=\frac{e^{w}-e^{-w}}{2}
e vamos usar identidades algébricas como (a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2.

Passo 2

Vamos começar com
\cosh2z=\frac{e^{2z}+e^{-2z}}{2}.
Note que e^{2z}=(e^{z})^2 e e^{-2z}=(e^{-z})^2, então
e^{2z}+e^{-2z}=(e^z)^2+(e^{-z})^2.
Por outro lado,
\operatorname{cosh}^2z+\operatorname{sinh}^2z =\Bigl(\frac{e^z+e^{-z}}{2}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{e^z-e^{-z}}{2}\Bigr)^2 =\frac{(e^z+e^{-z})^2+(e^z-e^{-z})^2}{4}.
Expandindo,
(e^z+e^{-z})^2+(e^z-e^{-z})^2 =(e^{2z}+2+e^{-2z})+(e^{2z}-2+e^{-2z}) =2\bigl(e^{2z}+e^{-2z}\bigr).
Logo,
\operatorname{cosh}^2z+\operatorname{sinh}^2z =\frac{2\bigl(e^{2z}+e^{-2z}\bigr)}{4} =\frac{e^{2z}+e^{-2z}}{2} =\cosh2z.

Passo 3

Agora,
2\operatorname{cosh}^2z-1 =2\Bigl(\frac{e^z+e^{-z}}{2}\Bigr)^2-1 =\frac{e^{2z}+2+e^{-2z}}{2}-1 =\frac{e^{2z}+e^{-2z}}{2} =\cosh2z.

Passo 4

Finalmente,
2\operatorname{sinh}^2z+1 =2\Bigl(\frac{e^z-e^{-z}}{2}\Bigr)^2+1 =\frac{e^{2z}-2+e^{-2z}}{2}+1 =\frac{e^{2z}+e^{-2z}}{2} =\cosh2z.

Resposta

\displaystyle \cosh2z=\operatorname{cosh}^2z+\operatorname{sinh}^2z \displaystyle \cosh2z=2\operatorname{cosh}^2z-1 \displaystyle \cosh2z=2\operatorname{sinh}^2z+1

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