Mostre que
\operatorname{tanh} ^{2} \frac{z}{2}=\frac{\operatorname{cosh} z-1}{\operatorname{cosh} z+1}

Passo 1

Estamos querendo mostrar a identidade envolvendo funções hiperbólicas
\operatorname{tanh}^{2}\!\bigl(\tfrac{z}{2}\bigr)\;=\;\frac{\operatorname{cosh} z - 1}{\operatorname{cosh} z + 1}.
Para isso vamos usar duas coisas básicas: a identidade de duplicação
\operatorname{cosh}(2u)=2\,\operatorname{cosh}^{2}(u)-1
e a definição
\operatorname{tanh}(u)=\frac{\operatorname{sinh}(u)}{\operatorname{cosh}(u)}\,.

Passo 2

Aplique a identidade de duplicação com u=\tfrac{z}{2}. Então
\operatorname{cosh} z = 2\,\operatorname{cosh}^{2}\!\bigl(\tfrac{z}{2}\bigr)\;-\;1 \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{cosh}^{2}\!\bigl(\tfrac{z}{2}\bigr)=\frac{\operatorname{cosh} z +1}{2}.
Além disso, da relação fundamental \operatorname{cosh}^{2}u-\operatorname{sinh}^{2}u=1 para u=\tfrac{z}{2} vem
\operatorname{sinh}^{2}\!\bigl(\tfrac{z}{2}\bigr) =\operatorname{cosh}^{2}\!\bigl(\tfrac{z}{2}\bigr)-1 =\frac{\operatorname{cosh} z +1}{2}-1 =\frac{\operatorname{cosh} z -1}{2}.

Passo 3

Agora basta formar a razão entre \operatorname{sinh}^{2} e \operatorname{cosh}^{2} em u=\tfrac{z}{2}:
\frac{\operatorname{sinh}^{2}\!\bigl(\tfrac{z}{2}\bigr)}% {\operatorname{cosh}^{2}\!\bigl(\tfrac{z}{2}\bigr)} =\frac{\tfrac{\operatorname{cosh} z -1}{2}}{\tfrac{\operatorname{cosh} z +1}{2}} =\frac{\operatorname{cosh} z -1}{\operatorname{cosh} z +1}.

Passo 4

Pela definição de tangente hiperbólica quadrada temos
\operatorname{tanh}^{2}\!\bigl(\tfrac{z}{2}\bigr) =\frac{\operatorname{sinh}^{2}\!\bigl(\tfrac{z}{2}\bigr)}{\operatorname{cosh}^{2}\!\bigl(\tfrac{z}{2}\bigr)}.
Juntando com o resultado do passo anterior, segue imediatamente
\operatorname{tanh}^{2}\!\bigl(\tfrac{z}{2}\bigr) =\frac{\operatorname{cosh} z -1}{\operatorname{cosh} z +1}.

Resposta

\operatorname{tanh}^{2}\!\bigl(\tfrac{z}{2}\bigr)=\frac{\operatorname{cosh} z - 1}{\operatorname{cosh} z + 1}.

Exercícios relacionados