Mostre que
\operatorname{cosh} (z \pm w)=\operatorname{cosh} z \operatorname{cosh} w \pm \operatorname{sinh} z \operatorname{sinh} w

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos as fórmulas de adição para a função cosseno hiperbólico, ou seja, provar que
\operatorname{cosh}(z\pm w)=\operatorname{cosh} z\,\operatorname{cosh} w\;\pm\;\operatorname{sinh} z\,\operatorname{sinh} w.
O conteúdo necessário é a definição de \operatorname{cosh} e \operatorname{sinh} em termos de exponenciais e manipulações algébricas.

Passo 2

Lembremos as definições para uma variável genérica u:
\operatorname{cosh} u = \frac{e^u + e^{-u}}{2}, \quad \operatorname{sinh} u = \frac{e^u - e^{-u}}{2}.

Passo 3

Calculemos primeiro \operatorname{cosh}(z+w) pela definição:
\operatorname{cosh}(z+w) = \frac{e^{\,z+w}+e^{-(z+w)}}{2} = \frac{e^z\,e^w + e^{-z}\,e^{-w}}{2}.

Passo 4

Agora expandamos
\operatorname{cosh} z\,\operatorname{cosh} w + \operatorname{sinh} z\,\operatorname{sinh} w = \frac{e^z+e^{-z}}{2}\,\frac{e^w+e^{-w}}{2} \;+\;\frac{e^z-e^{-z}}{2}\,\frac{e^w-e^{-w}}{2}.
Ao multiplicar e agrupar termos, obtemos
\frac{e^{z+w}+e^{z-w}+e^{-z+w}+e^{-z-w}}{4} \;+\;\frac{e^{z+w}-e^{z-w}-e^{-z+w}+e^{-z-w}}{4} = \frac{e^{z+w}+e^{-z-w}}{2},
que coincide com \operatorname{cosh}(z+w). Portanto
\operatorname{cosh}(z+w)=\operatorname{cosh} z\,\operatorname{cosh} w+\operatorname{sinh} z\,\operatorname{sinh} w.

Passo 5

Para \operatorname{cosh}(z-w) repetimos o mesmo cálculo:
\operatorname{cosh}(z-w) = \frac{e^{z-w}+e^{-(z-w)}}{2} = \frac{e^z\,e^{-w}+e^{-z}\,e^{w}}{2},
e verificamos analogamente que
\operatorname{cosh} z\,\operatorname{cosh} w - \operatorname{sinh} z\,\operatorname{sinh} w = \frac{e^{z-w}+e^{-z+w}}{2} = \operatorname{cosh}(z-w).

Resposta

\boxed{\operatorname{cosh}(z\pm w)=\operatorname{cosh} z\,\operatorname{cosh} w\;\pm\;\operatorname{sinh} z\,\operatorname{sinh} w.}

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