Mostre que
\operatorname{tanh} (z \pm w)=\frac{\operatorname{tanh} z \pm \operatorname{tanh} w}{1 \pm \operatorname{tanh} z \operatorname{tanh} w}

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a fórmula de adição e subtração da tangente hiperbólica, ou seja,
\operatorname{tanh}(z \pm w)=\frac{\operatorname{tanh} z \pm \operatorname{tanh} w}{1 \pm \operatorname{tanh} z\,\operatorname{tanh} w}.
O conteúdo da matéria são as funções hiperbólicas e suas fórmulas de soma. Vamos usar a definição \operatorname{tanh} u = \frac{\operatorname{sinh} u}{\operatorname{cosh} u} e as identidades de soma para \operatorname{sinh} e \operatorname{cosh}.

Passo 2

Pela definição,
\operatorname{tanh}(z\pm w)=\frac{\operatorname{sinh}(z\pm w)}{\operatorname{cosh}(z\pm w)}.
Usando as fórmulas de soma e diferença:
\operatorname{sinh}(z\pm w)=\operatorname{sinh} z\,\operatorname{cosh} w \pm \operatorname{cosh} z\,\operatorname{sinh} w,
\operatorname{cosh}(z\pm w)=\operatorname{cosh} z\,\operatorname{cosh} w \pm \operatorname{sinh} z\,\operatorname{sinh} w.
Logo,
\operatorname{tanh}(z\pm w) =\frac{\operatorname{sinh} z\,\operatorname{cosh} w \pm \operatorname{cosh} z\,\operatorname{sinh} w} {\operatorname{cosh} z\,\operatorname{cosh} w \pm \operatorname{sinh} z\,\operatorname{sinh} w}.

Passo 3

Para simplificar, dividimos numerador e denominador por \operatorname{cosh} z\,\operatorname{cosh} w:
\operatorname{tanh}(z\pm w) =\frac{\displaystyle\frac{\operatorname{sinh} z}{\operatorname{cosh} z}\pm \frac{\operatorname{sinh} w}{\operatorname{cosh} w}} {\displaystyle 1 \pm \frac{\operatorname{sinh} z}{\operatorname{cosh} z}\,\frac{\operatorname{sinh} w}{\operatorname{cosh} w}} =\frac{\operatorname{tanh} z \pm \operatorname{tanh} w}{1 \pm \operatorname{tanh} z\,\operatorname{tanh} w}.

Resposta

\operatorname{tanh}(z \pm w)=\frac{\operatorname{tanh} z \pm \operatorname{tanh} w}{1 \pm \operatorname{tanh} z\,\operatorname{tanh} w}.

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