Mostre que \operatorname{det}\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 \\\ a & b & c \\\ a^{2} & b^{2} & c^{2}\end{array}\right)=(a-b)(b-c)(c-a). (Dica: faça L_{3} \rightarrow L_{3}-a L_{2} e em seguida L_{2} \rightarrow L_{2}-a L_{1}. Com isso reduzimos o cálculo para uma matriz 2 \times 2; agora basta observar que podemos colocar (b-a) e (c-a) em evidência nas colunas.)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\ a & b & c\\\ a^2 & b^2 & c^2 \end{pmatrix}
utilizando operações sobre linhas e mostrando que o resultado é
(a-b)(b-c)(c-a).
Vamos usar as operações sugeridas para reduzir a terceira linha e a segunda linha, chegando a um menor 2\times2.
Passo 2
Aplicamos a operação
L_3 \;\to\; L_3 - a\,L_2.
Isso transforma a terceira linha de (a^2,\,b^2,\,c^2) em