Mostre que \operatorname{det}\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 \\\ a & b & c \\\ a^{2} & b^{2} & c^{2}\end{array}\right)=(a-b)(b-c)(c-a). (Dica: faça L_{3} \rightarrow L_{3}-a L_{2} e em seguida L_{2} \rightarrow L_{2}-a L_{1}. Com isso reduzimos o cálculo para uma matriz 2 \times 2; agora basta observar que podemos colocar (b-a) e (c-a) em evidência nas colunas.)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\ a & b & c\\\ a^2 & b^2 & c^2 \end{pmatrix}
utilizando operações sobre linhas e mostrando que o resultado é
(a-b)(b-c)(c-a).
Vamos usar as operações sugeridas para reduzir a terceira linha e a segunda linha, chegando a um menor 2\times2.

Passo 2

Aplicamos a operação
L_3 \;\to\; L_3 - a\,L_2.
Isso transforma a terceira linha de (a^2,\,b^2,\,c^2) em
\bigl(a^2 - a\cdot a,\; b^2 - a\cdot b,\; c^2 - a\cdot c\bigr) = \bigl(0,\;b(b-a),\;c(c-a)\bigr).
Após essa operação, a matriz é
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\ a & b & c\\\\ 0 & b(b-a) & c(c-a) \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora aplicamos
L_2 \;\to\; L_2 - a\,L_1.
A segunda linha (a,b,c) torna-se
\bigl(a - a\cdot1,\; b - a\cdot1,\; c - a\cdot1\bigr) = \bigl(0,\;b-a,\;c-a\bigr).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & b-a & c-a\\\\ 0 & b(b-a) & c(c-a) \end{pmatrix}.

Passo 4

Como o determinante não muda com essas operações, temos
\det M = 1 \;\times\; \det\!\begin{pmatrix} b-a & c-a\\\ b(b-a) & c(c-a) \end{pmatrix}.
Calculando esse menor 2\times2,
\det\begin{pmatrix} b-a & c-a\\\ b(b-a) & c(c-a) \end{pmatrix} = (b-a)\,c(c-a)\;-\;(c-a)\,b(b-a).
Fatorando (b-a)(c-a), obtemos
(b-a)(c-a)\bigl(c - b\bigr) = (b-a)(c-a)(c-b).

Passo 5

Finalmente, notamos que
(b-a)(c-a)(c-b) = \bigl(-(a-b)\bigr)\,(c-a)\,\bigl(-(b-c)\bigr) = (a-b)(b-c)(c-a).

Resposta

\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\ a & b & c\\\ a^2 & b^2 & c^2 \end{pmatrix} = (a-b)(b-c)(c-a).

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