Calcule o determinante das matrizes (recomenda-se fazer operações elementares para reduzir as contas):
A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 3 & 2 \\\\ 3 & 4 & -1 & 2 \\\\ 0 & 3 & 1 & 2 \\\\ 1 & 5 & 2 & 3\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante de
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 2 \\[6pt] 3 & 4 & -1 & 2 \\[6pt] 0 & 3 & 1 & 2 \\[6pt] 1 & 5 & 2 & 3 \end{pmatrix}
Podemos usar operações elementares de linha (que não alteram o valor do determinante) para introduzir zeros e reduzir o problema a um determinante 3\times 3.]

Passo 2

Aplicamos as operações
R_2 \leftarrow R_2 - 3\,R_1,\quad R_4 \leftarrow R_4 - R_1
O que nos leva à matriz equivalente
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 2 \\[4pt] 0 & 4 & -10 & -4 \\[4pt] 0 & 3 & 1 & 2 \\[4pt] 0 & 5 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Como zeramos a primeira coluna nas linhas 2, 3 e 4, o determinante de A torna-se
\det(A) = 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 4 & -10 & -4 \\[4pt] 3 & 1 & 2 \\[4pt] 5 & -1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Chamemos de B o menor 3\times 3:
B = \begin{pmatrix} 4 & -10 & -4 \\[4pt] 3 & 1 & 2 \\[4pt] 5 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Usamos expansão de Laplace pela primeira linha de B:
\det(B) =4\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ -1 & 1\end{pmatrix} \;-\;(-10)\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 2 \\\\ 5 & 1\end{pmatrix} \;+\;(-4)\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 1 \\\\ 5 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculando os menores 2\times 2:
\det\begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ -1 & 1\end{pmatrix} =1\cdot1 - 2\cdot(-1)=3, \quad \det\begin{pmatrix}3 & 2 \\\\ 5 & 1\end{pmatrix} =3\cdot1 - 2\cdot5=-7,
\det\begin{pmatrix}3 & 1 \\\\ 5 & -1\end{pmatrix} =3\cdot(-1) - 1\cdot5=-8.
Substituindo em \det(B):
\det(B) =4\cdot3 \;-\;(-10)\cdot(-7)\;+\;(-4)\cdot(-8) =12 - 70 + 32 = -26.
Portanto \det(A)=1\cdot\det(B)=-26.

Resposta

-26

Exercícios relacionados