Calcule o determinante das matrizes (recomenda-se fazer operações elementares para reduzir as contas):
A=\left(\begin{array}{ccccc}6 & 2 & 1 & 0 & 5 \\\\ 2 & 1 & 1 & -2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 2 & -2 & 3 \\\\ 3 & 0 & 2 & 3 & -1 \\\\ -1 & -1 & -3 & 4 & 2\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do determinante de
A=\begin{pmatrix} 6 & 2 & 1 & 0 & 5\\\\ 2 & 1 & 1 & -2 & 1\\\\ 1 & 1 & 2 & -2 & 3\\\\ 3 & 0 & 2 & 3 & -1\\\\ -1 & -1 & -3 & 4 & 2 \end{pmatrix}
O conteúdo aqui é determinante de matriz quadrada usando operações elementares de linha, sabendo que trocar duas linhas inverte o sinal do determinante e que adicionar múltiplos de uma linha a outra não altera o determinante. Em seguida podemos expandir por cofactor ou usar produto de pivôs.

Passo 2

Para facilitar, trocamos a linha 1 pela linha 3 (isso multiplica o determinante por -1), obtendo pivô 1 em (1,1). Depois zeramos as entradas abaixo desse pivô usando combinações lineares sem alterar o determinante:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -2 & 3\\\\ 0 & -1 & -3 & 2 & -5\\\\ 0 & -4 & -11 & 12 & -13\\\\ 0 & -3 & -4 & 9 & -10\\\\ 0 & 0 & -1 & 2 & 5 \end{pmatrix}
As operações foram \mathrm{R}_2\gets\mathrm{R}_2-2\mathrm{R}_1, \mathrm{R}_3\gets\mathrm{R}_3-6\mathrm{R}_1, \mathrm{R}_4\gets\mathrm{R}_4-3\mathrm{R}_1, \mathrm{R}_5\gets\mathrm{R}_5+\mathrm{R}_1.

Passo 3

Agora usamos o pivô -1 em (2,2) e zeramos abaixo dele em colunas 2:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -2 & 3\\\\ 0 & -1 & -3 & 2 & -5\\\\ 0 & 0 & 1 & 4 & 7\\\\ 0 & 0 & 5 & 3 & 5\\\\ 0 & 0 & -1 & 2 & 5 \end{pmatrix}
As operações foram \mathrm{R}_3\gets\mathrm{R}_3-4\mathrm{R}_2 e \mathrm{R}_4\gets\mathrm{R}_4-3\mathrm{R}_2. Isso deixa um bloco 3\times 3
C=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 7\\\\ 5 & 3 & 5\\\\ -1 & 2 & 5 \end{pmatrix}
e, ao expandir a matriz 4\times 4 intermediária pela primeira coluna, vemos que o determinante de A é
\det(A)=(-1)\times\bigl(-1\bigr)\times\det\text{(C)}=\det\text{(C)}.

Passo 4

Calculamos \det\text{(C)} por Laplace (primeira linha):
\det\text{(C)} =1\cdot\det\begin{pmatrix}3&5\\\ 2&5\end{pmatrix} -4\cdot\det\begin{pmatrix}5&5\\\ -1&5\end{pmatrix} +7\cdot\det\begin{pmatrix}5&3\\\ -1&2\end{pmatrix}.
Cada menor vale \det\begin{pmatrix}3&5\\\ 2&5\end{pmatrix}=15-10=5, \det\begin{pmatrix}5&5\\\ -1&5\end{pmatrix}=25+5=30, \det\begin{pmatrix}5&3\\\ -1&2\end{pmatrix}=10+3=13.
Logo
\det\text{(C)}=1\cdot5-4\cdot30+7\cdot13=5-120+91=-24.

Passo 5

Como \det(A)=\det\text{(C)}, concluímos que
\det(A)=-24.

Resposta

-24

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