Mostre que:
\operatorname{sen} 45=\cos 45=\frac{\sqrt{2}}{2} e \operatorname{tg} 45=1

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos, usando conceitos de trigonometria de triângulo retângulo, que \sin45^\circ=\cos45^\circ=\tfrac{\sqrt{2}}{2} e \tan45^\circ=1. Para isso, vamos considerar um triângulo retângulo isósceles cujos catetos medem 1.

Passo 2

Em um triângulo retângulo isósceles, os dois catetos são iguais. Se cada cateto vale 1, então, pela relação de Pitágoras, a hipotenusa h satisfaz
h = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}.

Passo 3

Pelo definição de seno e cosseno em triângulos retângulos, temos:
\sin45^\circ = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \quad\text{e}\quad \cos45^\circ = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.
Para escrever em forma sem raiz no denominador, racionalizamos:
\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.
Logo,
\sin45^\circ = \cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

A tangente é definida como razão entre seno e cosseno, então
\tan45^\circ = \frac{\sin45^\circ}{\cos45^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1.

Resposta

\displaystyle \sin45^\circ = \cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad\text{e}\quad \tan45^\circ = 1.

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