Mostre que:
Num triângulo acutângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto das medidas destes lados pelo cosseno do ângulo formado por eles. Nota. Como no item anterior, este resultado também ć válido para um triângulo qualquer (Lei dos Cossenos). E, da mesma forma, vale a relação: \cos \alpha=-\cos (180-\alpha).

Passo 1

O enunciado pede para provar a Lei dos Cossenos num triângulo acutângulo: o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados menos duas vezes o produto desses lados pelo cosseno do ângulo entre eles. Vamos usar coordenadas no plano, a definição de distância e a identidade trigonométrica \sin^2\theta+\cos^2\theta=1.

Passo 2

Considere o triângulo ABC com \angle A=\alpha. Denotemos \;AB=c,\;AC=b,\;BC=a.
Coloquemos \;A=(0,0),\;B=(c,0)
e façamos com que o segmento AC tenha comprimento b e forma o ângulo \alpha com o eixo x. Logo
C=(b\cos\alpha,\;b\sin\alpha).

Passo 3

O quadrado da distância entre B e C é
a^2 = BC^2 =\bigl(b\cos\alpha - c\bigr)^{2} \;+\;\bigl(b\sin\alpha\bigr)^{2}.

Passo 4

Expandindo e usando \cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1, obtemos
a^2 = b^2\cos^2\alpha -2bc\cos\alpha + c^2 + b^2\sin^2\alpha = b^2\bigl(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha\bigr) + c^2 -2bc\cos\alpha = b^2 + c^2 - 2\,b\,c\cos\alpha.

Passo 5

Como nada no cálculo dependia de \alpha ser menor que 90^\circ além do fato de \sin\alpha e \cos\alpha manterem-se reais, a fórmula vale para qualquer triângulo (Lei dos Cossenos). Para ângulos obtusos nota-se que \cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha, garantindo a forma correta do termo -2bc\cos\alpha.

Resposta

a^2 = b^2 + c^2 - 2\,b\,c\cos\alpha,
e
\cos\alpha = -\cos(180^\circ - \alpha).

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