Mostre que:
\operatorname{sen}(z+w) \operatorname{sen}(z-w)=\frac{1}{2}(\cos (2 w)-\cos (2 z))

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade
\operatorname{sen}(z+w)\operatorname{sen}(z-w)=\frac{1}{2}\bigl(\cos(2w)-\cos(2z)\bigr).
Informações dadas: os argumentos da função seno são z+w e z-w. Não há restrição sobre z e w (podem ser reais ou complexos); a identidade trigonométrica deverá valer formalmente. A tarefa é provar a igualdade passo a passo.

Passo 2

Lembrar duas fórmulas trigonométricas fundamentais (essas valem para ângulos reais e, por extensão, como identidades formais em variáveis complexas):
\cos(a-b)=\cos a\cos b+\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b
\cos(a+b)=\cos a\cos b-\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b
Vou explicar por que essas fórmulas são verdadeiras de forma simples: são as fórmulas da soma e diferença para o cosseno. Elas dizem como escrever o cosseno da soma (ou diferença) de dois ângulos em termos dos cossenos e senos desses ângulos. As variáveis a e b representam quaisquer ângulos (ou expressões que representem ângulos).

Passo 3

Subtraindo as duas fórmulas do passo anterior obtemos:
\cos(a-b)-\cos(a+b)=(\cos a\cos b+\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b)-(\cos a\cos b-\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b).
No lado direito \cos a\cos b cancela, sobrando
\cos(a-b)-\cos(a+b)=2\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b.
Isolando o produto \operatorname{sen}a\operatorname{sen}b vem a fórmula produto-para-soma:
\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b=\frac{1}{2}\bigl(\cos(a-b)-\cos(a+b)\bigr).
Isso é uma identidade clássica útil para transformar produto de senos em soma/diferença de cossenos.

Passo 4

Agora apliquei a fórmula do passo anterior ao caso a=z+w e b=z-w. Primeiro calculo as somas e diferenças necessárias:
a-b=(z+w)-(z-w)=2w,
a+b=(z+w)+(z-w)=2z.
Esses cálculos são apenas álgebra simples com soma e subtração de expressões: repare que os z se cancelam no primeiro e os w se cancelam no segundo.

Passo 5

Substituindo a=z+w e b=z-w na fórmula produto-para-soma do passo 3:
\operatorname{sen}(z+w)\operatorname{sen}(z-w)=\frac{1}{2}\bigl(\cos((z+w)-(z-w))-\cos((z+w)+(z-w))\bigr).
Usando os resultados do passo 4 isso fica exatamente
\operatorname{sen}(z+w)\operatorname{sen}(z-w)=\frac{1}{2}\bigl(\cos(2w)-\cos(2z)\bigr),
que é a identidade a ser mostrada.

Passo 6

Para ganhar confiança, um exemplo numérico rápido: tome z=\dfrac{\pi}{3} e w=\dfrac{\pi}{6}.
Então z+w=\dfrac{\pi}{2} e z-w=\dfrac{\pi}{6}. O lado esquerdo é
\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=1\cdot \tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}.
O lado direito é
\frac{1}{2}\bigl(\cos(2w)-\cos(2z)\bigr)=\frac{1}{2}\bigl(\cos(\tfrac{\pi}{3})-\cos(\tfrac{2\pi}{3})\bigr) =\frac{1}{2}\bigl(\tfrac{1}{2}-(-\tfrac{1}{2})\bigr)=\frac{1}{2}\cdot 1=\tfrac{1}{2},
concordando com o lado esquerdo. Isso confirma a identidade num caso concreto.

Resposta

\operatorname{sen}(z+w)\operatorname{sen}(z-w)=\frac{1}{2}\bigl(\cos(2w)-\cos(2z)\bigr)

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