Mostre que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a identidade
Informações dadas: os argumentos da função seno são
e
. Não há restrição sobre
e
(podem ser reais ou complexos); a identidade trigonométrica deverá valer formalmente. A tarefa é provar a igualdade passo a passo.
Passo 2
Lembrar duas fórmulas trigonométricas fundamentais (essas valem para ângulos reais e, por extensão, como identidades formais em variáveis complexas):
Vou explicar por que essas fórmulas são verdadeiras de forma simples: são as fórmulas da soma e diferença para o cosseno. Elas dizem como escrever o cosseno da soma (ou diferença) de dois ângulos em termos dos cossenos e senos desses ângulos. As variáveis
e
representam quaisquer ângulos (ou expressões que representem ângulos).
Passo 3
Subtraindo as duas fórmulas do passo anterior obtemos:
No lado direito
cancela, sobrando
Isolando o produto
vem a fórmula produto-para-soma:
Isso é uma identidade clássica útil para transformar produto de senos em soma/diferença de cossenos.
Passo 4
Agora apliquei a fórmula do passo anterior ao caso
e
. Primeiro calculo as somas e diferenças necessárias:
Esses cálculos são apenas álgebra simples com soma e subtração de expressões: repare que os
se cancelam no primeiro e os
se cancelam no segundo.
Passo 5
Substituindo
e
na fórmula produto-para-soma do passo 3:
Usando os resultados do passo 4 isso fica exatamente
que é a identidade a ser mostrada.
Passo 6
Para ganhar confiança, um exemplo numérico rápido: tome
e
.
Então e
. O lado esquerdo é
Então
O lado direito é
concordando com o lado esquerdo. Isso confirma a identidade num caso concreto.