Mostre que:
\cos (z+w) \cos (z-w)=\frac{1}{2}(\operatorname{sen}(2 w)-\operatorname{sen}(2 z))

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a igualdade
\cos(z+w)\cos(z-w)=\frac{1}{2}\bigl(\operatorname{sen}(2w)-\operatorname{sen}(2z)\bigr).
Informações dadas:
  • As expressões envolvem as funções trigonométricas \cos e \operatorname{sen}.
  • As variáveis são z e w (podem ser reais ou complexas).
    O que se quer: provar (mostrar) que a igualdade acima vale.

Passo 2

Vamos lembrar duas fórmulas trigonométricas fundamentais (estas são verdadeiras para z,w reais; estendem-se por identidades de funções trigonométricas complexas também):
\cos(a+b)=\cos a\cos b-\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b,
\cos(a-b)=\cos a\cos b+\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b.
Nessas fórmulas, a e b são ângulos arbitrários; cada termo significa:
  • \cos a\cos b é o produto dos cossenos de a e b;
  • \operatorname{sen}a\operatorname{sen}b é o produto dos senos de a e b.
    Vou usar essas fórmulas com a=z e b=w.

Passo 3

Multiplicando diretamente \cos(z+w) por \cos(z-w) usando as fórmulas do passo anterior:
\cos(z+w)\cos(z-w) = \bigl(\cos z\cos w-\operatorname{sen}z\operatorname{sen}w\bigr) \bigl(\cos z\cos w+\operatorname{sen}z\operatorname{sen}w\bigr).
Reconhecemos um produto da forma (A-B)(A+B)=A^2-B^2. Tomando
A=\cos z\cos w e B=\operatorname{sen}z\operatorname{sen}w, obtemos
\cos(z+w)\cos(z-w)=(\cos z\cos w)^2-(\operatorname{sen}z\operatorname{sen}w)^2.

Passo 4

Vamos transformar a expressão anterior em formas com ângulos duplos. Primeiro, escrevemos \cos^2 e \operatorname{sen}^2 pelas identidades de ângulo duplo:
\cos^2 x=\frac{1+\cos(2x)}{2},\qquad \operatorname{sen}^2 x=\frac{1-\cos(2x)}{2}.
Aplicando isso a (\cos z\cos w)^2-(\operatorname{sen}z\operatorname{sen}w)^2 (observe que (\cos z\cos w)^2=\cos^2 z\cos^2 w e análogo para \operatorname{sen}):
\begin{aligned} \cos(z+w)\cos(z-w) &=\cos^2 z\cos^2 w-\operatorname{sen}^2 z\operatorname{sen}^2 w\\[4pt] &=\frac{1}{4}\Big[(1+\cos(2z))(1+\cos(2w))-(1-\cos(2z))(1-\cos(2w))\Big]. \end{aligned}
Agora expandimos os produtos dentro dos colchetes:
(1+\cos(2z))(1+\cos(2w))=1+\cos(2z)+\cos(2w)+\cos(2z)\cos(2w),
(1-\cos(2z))(1-\cos(2w))=1-\cos(2z)-\cos(2w)+\cos(2z)\cos(2w).
Subtraindo a segunda expressão da primeira cancela vários termos:
\begin{aligned} &\bigl(1+\cos(2z)+\cos(2w)+\cos(2z)\cos(2w)\bigr)\\\ &\qquad-\bigl(1-\cos(2z)-\cos(2w)+\cos(2z)\cos(2w)\bigr)\\\ &=2\cos(2z)+2\cos(2w). \end{aligned}
Portanto
\cos(z+w)\cos(z-w)=\frac{1}{4}\cdot\bigl(2\cos(2z)+2\cos(2w)\bigr) =\frac{1}{2}\bigl(\cos(2z)+\cos(2w)\bigr).]

Passo 5

Conclusão: a identidade válida (e frequentemente usada) é
\cos(z+w)\cos(z-w)=\frac{1}{2}\bigl(\cos(2z)+\cos(2w)\bigr).
Isto pode ser obtido de forma ainda mais direta usando a fórmula produto-para-soma
\cos A\cos B=\frac{1}{2}\bigl(\cos(A+B)+\cos(A-B)\bigr),
com A=z+w e B=z-w, que dá \frac{1}{2}(\cos(2z)+\cos(2w)).
Além disso, a igualdade dada no enunciado
\cos(z+w)\cos(z-w)=\frac{1}{2}\bigl(\operatorname{sen}(2w)-\operatorname{sen}(2z)\bigr)
é falsa. Um contraexemplo simples: com z=0 e w=0,
\cos(0+0)\cos(0-0)=1\cdot1=1,
enquanto
\frac{1}{2}\bigl(\operatorname{sen}(0)-\operatorname{sen}(0)\bigr)=0.
Logo a expressão com senos não coincide com o produto de cossenos.

Passo 6

Resumo pedagógico rápido para a prova (como lembrar e aplicar):
  • Use a identidade produto-para-soma \cos A\cos B=\tfrac{1}{2}(\cos(A+B)+\cos(A-B)). É a forma mais direta.
  • Se preferir, derive multiplicando as fórmulas de soma e diferença de cossenos e simplificando (como fiz acima).
  • Tenha em mente que produtos de cossenos dão soma de cossenos de ângulos combinados, não diferenças de senos.

Resposta

A igualdade dada é falsa. A identidade correta é
\cos(z+w)\cos(z-w)=\frac{1}{2}\bigl(\cos(2z)+\cos(2w)\bigr).

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