Mostre que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a igualdade
Informações dadas:
- As expressões envolvem as funções trigonométricas
e . - As variáveis são
e (podem ser reais ou complexas).
O que se quer: provar (mostrar) que a igualdade acima vale.
Passo 2
Vamos lembrar duas fórmulas trigonométricas fundamentais (estas são verdadeiras para
reais; estendem-se por identidades de funções trigonométricas complexas também):
Nessas fórmulas,
e
são ângulos arbitrários; cada termo significa:
-
é o produto dos cossenos de e ; -
é o produto dos senos de e .
Vou usar essas fórmulas come .
Passo 3
Multiplicando diretamente
por
usando as fórmulas do passo anterior:
Reconhecemos um produto da forma
. Tomando
e
, obtemos
Passo 4
Vamos transformar a expressão anterior em formas com ângulos duplos. Primeiro, escrevemos
e
pelas identidades de ângulo duplo:
Aplicando isso a
(observe que
e análogo para
):
Agora expandimos os produtos dentro dos colchetes:
Subtraindo a segunda expressão da primeira cancela vários termos:
Portanto
Passo 5
Conclusão: a identidade válida (e frequentemente usada) é
Isto pode ser obtido de forma ainda mais direta usando a fórmula produto-para-soma
com
e
, que dá
.
Além disso, a igualdade dada no enunciado
é falsa. Um contraexemplo simples: com
e
,
enquanto
Logo a expressão com senos não coincide com o produto de cossenos.
Passo 6
Resumo pedagógico rápido para a prova (como lembrar e aplicar):
- Use a identidade produto-para-soma
. É a forma mais direta. - Se preferir, derive multiplicando as fórmulas de soma e diferença de cossenos e simplificando (como fiz acima).
- Tenha em mente que produtos de cossenos dão soma de cossenos de ângulos combinados, não diferenças de senos.
Resposta
A igualdade dada é falsa. A identidade correta é