Determine todos os valores de
tais que:
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar todos os números complexos
tais que
Informações dadas (aproveitando para deixar tudo explícito):
- O lado esquerdo é a função exponencial complexa aplicada a
. - O lado direito é a unidade imaginária
, que em forma exponencial vale até uma constante periódica na parte imaginária. - A tarefa é listar todos os
que satisfazem essa igualdade (pode haver infinitas soluções por causa da periodicidade).
Passo 2
Usar a periodicidade da exponencial complexa. Regra importante (explicada): se
para
, então todos os
possíveis são os logaritmos complexos de
. Como a exponencial é
-periódica na variável do expoente,
onde uma escolha conveniente para o logaritmo principal é
. Portanto, substituindo
, obtemos a condição equivalente
Passo 3
Transformar a equação quadrática numa forma mais simples. Faço completamento de quadrado:
Igualando ao membro direito:
Logo
Daí tiramos a raiz quadrada (atenção: raiz quadrada complexa tem duas possibilidades,
):
Portanto já obtemos a forma geral das soluções:
Passo 4
Agora vou explicar com calma como calcular a raiz quadrada de um número complexo [a+ib) (essa é a ferramenta que permite escrever as soluções em forma de parte real + parte imaginária, útil na prova):
Seja
com
. Queremos
tal que
. Desenvolvendo:
Comparando partes real e imaginária obtemos o sistema
Outra ajuda: o módulo de
. Somando e subtraindo as equações dá
Escolhe-se o sinal de
e
de modo consistente com
. Uma fórmula prática e comum é:
onde
se
,
se
. (Se
escolhe-se o sinal de
conforme
ou não.) Assim as duas raízes quadradas de
são
.]
Passo 5
Aplicando isso ao nosso caso. Defina, para cada
,
Então uma raiz quadrada de
é
com
As duas possibilidades da raiz estão dadas por
. Voltando para
:
ou seja explicitamente
Passo 6
Para consolidar e dar um exemplo numérico rápido (para desdramatizar): se
então
e
Assim para
as duas soluções numéricas aproximadas são
ou seja
e
. Isso confirma que de fato há uma família infinita parametrizada por
.