Determine todos os valores de z \in \mathrm{C} tais que:
e^{z^{2}-2 z}=i

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar todos os números complexos z tais que
e^{z^{2}-2 z}=i.
Informações dadas (aproveitando para deixar tudo explícito):
  • O lado esquerdo é a função exponencial complexa aplicada a z^{2}-2z.
  • O lado direito é a unidade imaginária i, que em forma exponencial vale e^{i\pi/2} até uma constante 2\pi periódica na parte imaginária.
  • A tarefa é listar todos os z\in\mathbb{C} que satisfazem essa igualdade (pode haver infinitas soluções por causa da periodicidade).

Passo 2

Usar a periodicidade da exponencial complexa. Regra importante (explicada): se e^{w}=i para w\in\mathbb{C}, então todos os w possíveis são os logaritmos complexos de i. Como a exponencial é 2\pi i-periódica na variável do expoente,
w = \ln(i) + 2\pi i k, \qquad k\in\mathbb{Z},
onde uma escolha conveniente para o logaritmo principal é \ln(i)=i\pi/2. Portanto, substituindo w=z^{2}-2z, obtemos a condição equivalente
z^{2}-2z = i\Bigl(\tfrac{\pi}{2} + 2\pi k\Bigr), \qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Transformar a equação quadrática numa forma mais simples. Faço completamento de quadrado:
z^{2}-2z = (z-1)^{2}-1.
Igualando ao membro direito:
(z-1)^{2}-1 = i\Bigl(\tfrac{\pi}{2} + 2\pi k\Bigr).
Logo
(z-1)^{2} = 1 + i\Bigl(\tfrac{\pi}{2} + 2\pi k\Bigr).
Daí tiramos a raiz quadrada (atenção: raiz quadrada complexa tem duas possibilidades, \pm):
z-1 = \pm \sqrt{\,1 + i\Bigl(\tfrac{\pi}{2} + 2\pi k\Bigr)\,}, \qquad k\in\mathbb{Z}.
Portanto já obtemos a forma geral das soluções:
z = 1 \pm \sqrt{\,1 + i\Bigl(\tfrac{\pi}{2} + 2\pi k\Bigr)\,},\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Agora vou explicar com calma como calcular a raiz quadrada de um número complexo [a+ib) (essa é a ferramenta que permite escrever as soluções em forma de parte real + parte imaginária, útil na prova):
Seja w=a+ib com a,b\in\mathbb{R}. Queremos u+iv tal que (u+iv)^{2}=a+ib. Desenvolvendo:
(u+iv)^{2} = u^{2}-v^{2} + i(2uv).
Comparando partes real e imaginária obtemos o sistema
\begin{cases} u^{2}-v^{2} = a,\\[4pt] 2uv = b. \end{cases}
Outra ajuda: o módulo de w\] é \(r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}. Somando e subtraindo as equações dá
u^{2} = \frac{r+a}{2},\qquad v^{2} = \frac{r-a}{2}.
Escolhe-se o sinal de u e v de modo consistente com 2uv=b. Uma fórmula prática e comum é:
u = \sqrt{\frac{r+a}{2}},\qquad v = \operatorname{sgn}(b)\,\sqrt{\frac{r-a}{2}},
onde \operatorname{sgn}(b)=1 se b>0, -1 se b<0. (Se b=0 escolhe-se o sinal de u conforme a\ge0 ou não.) Assim as duas raízes quadradas de a+ib são \pm(u+iv).]

Passo 5

Aplicando isso ao nosso caso. Defina, para cada k\in\mathbb{Z},
b_{k} = \tfrac{\pi}{2} + 2\pi k, \qquad a=1, \qquad r_{k}=\sqrt{1+b_{k}^{2}}=\sqrt{1+\Bigl(\tfrac{\pi}{2}+2\pi k\Bigr)^{2}}.
Então uma raiz quadrada de 1+i b_{k} é
\sqrt{1+i b_{k}} = u_{k}+i v_{k},
com
u_{k} = \sqrt{\frac{r_{k}+1}{2}},\qquad v_{k} = \operatorname{sgn}(b_{k})\,\sqrt{\frac{r_{k}-1}{2}}.
As duas possibilidades da raiz estão dadas por \pm(u_{k}+i v_{k}). Voltando para z:
z = 1 \pm (u_{k}+i v_{k}), \qquad k\in\mathbb{Z},
ou seja explicitamente
z = 1 \pm \Biggl(\sqrt{\frac{r_{k}+1}{2}} \;+\; i\,\operatorname{sgn}(b_{k})\sqrt{\frac{r_{k}-1}{2}}\Biggr), \qquad r_{k}=\sqrt{1+b_{k}^{2}},\; b_{k}=\tfrac{\pi}{2}+2\pi k.

Passo 6

Para consolidar e dar um exemplo numérico rápido (para desdramatizar): se k=0 então b_{0}=\tfrac{\pi}{2}\approx1{,}5708 e
r_{0}=\sqrt{1+\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)^{2}}\approx1{,}8615,
u_{0}=\sqrt{\frac{r_{0}+1}{2}}\approx1{,}1960,\qquad v_{0}=\sqrt{\frac{r_{0}-1}{2}}\approx0{,}6560.
Assim para k=0 as duas soluções numéricas aproximadas são
z \approx 1 \pm (1{,}1960 + 0{,}6560\,i),
ou seja z\approx 2{,}1960 + 0{,}6560\,i e z\approx -0{,}1960 - 0{,}6560\,i. Isso confirma que de fato há uma família infinita parametrizada por k.

Resposta

z = 1 \pm \sqrt{\,1 + i\Bigl(\tfrac{\pi}{2} + 2\pi k\Bigr)\,},\qquad k\in\mathbb{Z}.
\text{Equivalently:}\quad z = 1 \pm \Biggl(\sqrt{\frac{r_{k}+1}{2}} \;+\; i\,\operatorname{sgn}\!\Bigl(\tfrac{\pi}{2}+2\pi k\Bigr)\sqrt{\frac{r_{k}-1}{2}}\Biggr),
\text{where } r_{k}=\sqrt{1+\Bigl(\tfrac{\pi}{2}+2\pi k\Bigr)^{2}},\quad k\in\mathbb{Z}.

Exercícios relacionados