Mostre que
\operatorname{tanh} 2 z=\frac{2 \operatorname{tanh} z}{1+\operatorname{tanh} ^{2} z}

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a fórmula de ângulo duplo da tangente hiperbólica, ou seja, mostrar que
\operatorname{tanh}(2z)=\frac{2\operatorname{tanh} z}{1+\operatorname{tanh}^2 z}.
Para isso, vamos usar a definição \operatorname{tanh} w=\frac{\operatorname{sinh} w}{\operatorname{cosh} w} e as fórmulas de ângulo duplo \operatorname{sinh}(2z)=2\operatorname{sinh} z\operatorname{cosh} z e \operatorname{cosh}(2z)=\operatorname{cosh}^2 z+\operatorname{sinh}^2 z.

Passo 2

Pela definição de \operatorname{tanh}, temos
\operatorname{tanh}(2z)=\frac{\operatorname{sinh}(2z)}{\operatorname{cosh}(2z)}.

Passo 3

Substituindo as fórmulas de ângulo duplo em seno e cosseno hiperbólicos, fica
\operatorname{tanh}(2z) =\frac{2\,\operatorname{sinh} z\,\operatorname{cosh} z}{\operatorname{cosh}^2 z+\operatorname{sinh}^2 z}.

Passo 4

Agora dividimos numerador e denominador por \operatorname{cosh}^2 z:
\operatorname{tanh}(2z) =\frac{2\,\frac{\operatorname{sinh} z}{\operatorname{cosh} z}}{1+\frac{\operatorname{sinh}^2 z}{\operatorname{cosh}^2 z}} =\frac{2\,\operatorname{tanh} z}{1+\operatorname{tanh}^2 z}.

Resposta

\operatorname{tanh}(2z)=\frac{2\,\operatorname{tanh} z}{1+\operatorname{tanh}^2 z}.

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