Mostre que |\bar{z}|=|z|.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para um número complexo z, o módulo do conjugado de z é igual ao módulo de z. O conteúdo aqui é a definição de número complexo, conjugado e módulo. Vamos usar que, se
z = x + i\,y,
com x,y\in\mathbb{R}, então o conjugado é
\bar z = x - i\,y
e o módulo de um complexo w = u + i\,v é
|w| = \sqrt{u^2 + v^2}.

Passo 2

Escrevendo z = x + i\,y, temos
|z| = \sqrt{x^2 + y^2}.
Para o conjugado \bar z = x - i\,y, aplicamos a mesma definição de módulo:
|\bar z| = \sqrt{x^2 + (-y)^2}.

Passo 3

Como (-y)^2 = y^2, obtemos
|\bar z| = \sqrt{x^2 + y^2}.
Comparando com a expressão de |z|, concluímos
|\bar z| = |z|.

Resposta

|\bar z| = |z|

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