1. Quando \mathbf{z}=\overline{\mathbf{z}} Se z e \bar{z} são iguais, o que podemos dizer sobre a localização do ponto z no plano complexo?

Passo 1

O enunciado envolve números complexos e sua conjugação. Ele pergunta: se \,z=\overline{z}, o que isso nos diz sobre a posição de z no plano complexo? Para responder, vamos usar a forma cartesiana de um número complexo.

Passo 2

Escrevemos um número complexo z em coordenadas reais:
z = x + i y,
onde x e y são números reais e i^2=-1.

Passo 3

A conjugada de z é
\overline{z} = x - i y.
Impondo \,z=\overline{z}, temos
x + i y = x - i y
e, ao comparar as partes imaginárias,
y = -y \quad\Longrightarrow\quad y = 0.

Passo 4

Como y=0, o número z fica reduzido a
z = x + i\cdot 0 = x,
ou seja, z é um número real.

Resposta

O ponto z está localizado no eixo real do plano complexo.

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