Mostre que |G(omegan)|=12 zeta para G(s)=omegan^2s^2+2 zeta omegan+omegan^2.

Passo 1

Beleza, vamos ao enunciado: precisamos mostrar que, para
G(s)=omegan^2s^2+2zetaomegans+omegan^2,
o módulo da resposta em frequência quando l|G(jomegan)r| = 12zeta é
Conteúdo envolvido: função de transferência, avaliação em , números complexos e módulo de complexo. Vamos precisar lembrar que:
  • Para avaliar resposta em frequência, colocamos .
  • .
  • O módulo de um número complexo é .

Passo 2

Substituímos G(jomegan) = omegan^2(jomegan)^2 + 2zetaomegan(jomegan) + omegan^2 em . Então

Passo 3

Agora calculamos cada termo do denominador:
  • (jomegan)^2 + 2zetaomegan(jomegan) + omegan^2 = -omegan^2 + j,2zeta,omegan^2 + omegan^2 = j,2zeta,omegan^2

  • Somando tudo:

Passo 4

Então
G(jomegan) = omegan^2j,2zeta,omegan^2 = 1j,2zeta
Para achar o módulo, lembramos que , porque .

Resposta

boxedl|G(jomegan)r| = 12zeta

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