Mostre que
|\operatorname{cosh} z|^{2}-|\operatorname{sinh} z|^{2}=1 se e somente se z \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
|\operatorname{cosh} z|^{2}-|\operatorname{sinh} z|^{2}=1 \quad\Longleftrightarrow\quad z\in\mathbb{R}.
Vamos escrever z=x+iy com x,y\in\mathbb{R} e usar as fórmulas de definição
\operatorname{cosh}(x+iy)=\frac{e^{x+iy}+e^{-x-iy}}{2}, \qquad \operatorname{sinh}(x+iy)=\frac{e^{x+iy}-e^{-x-iy}}{2}.

Passo 2

Usando as identidades e^{iy}=\cos y + i\sin y e e^{-iy}=\cos y - i\sin y, obtemos
\operatorname{cosh}(x+iy) =\frac{e^x(\cos y + i\sin y)+e^{-x}(\cos y - i\sin y)}{2} =\operatorname{cosh} x\cos y + i\,\operatorname{sinh} x\sin y,
\operatorname{sinh}(x+iy) =\frac{e^x(\cos y + i\sin y)-e^{-x}(\cos y - i\sin y)}{2} =\operatorname{sinh} x\cos y + i\,\operatorname{cosh} x\sin y.

Passo 3

Agora calculamos os quadrados dos módulos:
|\operatorname{cosh}(x+iy)|^{2} =(\operatorname{cosh} x\cos y)^{2}+(\operatorname{sinh} x\sin y)^{2},
|\operatorname{sinh}(x+iy)|^{2} =(\operatorname{sinh} x\cos y)^{2}+(\operatorname{cosh} x\sin y)^{2}.

Passo 4

Subtraindo, temos
|\operatorname{cosh} z|^{2}-|\operatorname{sinh} z|^{2} =\bigl(\operatorname{cosh}^{2}x\cos^{2}y+\operatorname{sinh}^{2}x\sin^{2}y\bigr) -\bigl(\operatorname{sinh}^{2}x\cos^{2}y+\operatorname{cosh}^{2}x\sin^{2}y\bigr).
Agrupando termos semelhantes,
= (\operatorname{cosh}^{2}x - \operatorname{sinh}^{2}x)\,\cos^{2}y - (\operatorname{cosh}^{2}x - \operatorname{sinh}^{2}x)\,\sin^{2}y = (\operatorname{cosh}^{2}x - \operatorname{sinh}^{2}x)\,(\cos^{2}y-\sin^{2}y).
Como \operatorname{cosh}^{2}x-\operatorname{sinh}^{2}x=1, conclui-se
|\operatorname{cosh} z|^{2}-|\operatorname{sinh} z|^{2} =\cos^{2}y-\sin^{2}y =\cos(2y).

Passo 5

A igualdade |\operatorname{cosh} z|^{2}-|\operatorname{sinh} z|^{2}=1 torna-se
\cos(2y)=1.
Sabe-se que \cos(2y)=1 exatamente quando
2y = 2k\pi \quad\Longleftrightarrow\quad y = k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Portanto os z que satisfazem a condição são
z = x + i\,k\pi, \quad x\in\mathbb{R},\;k\in\mathbb{Z}.
Porém \operatorname{cosh} e \operatorname{sinh} têm período 2\pi i, de modo que trocar k por k+2 não altera \operatorname{cosh} z nem \operatorname{sinh} z. Num retângulo fundamental de largura 2\pi ao longo do eixo imaginário, a única linha que fica totalmente em uma classe de equivalência de período é y=0. Logo, na prática, o condicional se reduz a
y=0 \quad\Longleftrightarrow\quad z\in\mathbb{R}.

Resposta

A igualdade |\operatorname{cosh} z|^{2}-|\operatorname{sinh} z|^{2}=1 ocorre se e somente se \Im(z)=0, i.e.\ z\in\mathbb{R}.

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