Mostre que
|\sin z|^{2}=\sin ^{2} x+\left(\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para z = x + i y, vale
\lvert \sin z\rvert^{2} \;=\;\sin^{2}x \;+\;\Bigl(\tfrac{e^{y}-e^{-y}}{2}\Bigr)^{2}.
O conteúdo envolvido é a definição de \sin de número complexo e o cálculo de módulo, além das identidades de funções hiperbólicas.

Passo 2

Usamos a fórmula de Euler para estender \sin a argumentos complexos. Para z = x + i y temos
\sin(x + i y) =\sin x\operatorname{cosh} y + i\,\cos x\operatorname{sinh} y.

Passo 3

O módulo ao quadrado de um número complexo u+iv é u^{2}+v^{2}. Assim
\lvert \sin z\rvert^{2} =\bigl(\sin x\operatorname{cosh} y\bigr)^{2} +\bigl(\cos x\operatorname{sinh} y\bigr)^{2}.

Passo 4

Usamos as identidades
\operatorname{cosh}^{2}y - \operatorname{sinh}^{2}y = 1 \quad\text{e}\quad \sin^{2}x + \cos^{2}x = 1.
Então
\lvert \sin z\rvert^{2} =\sin^{2}x\,\operatorname{cosh}^{2}y + \cos^{2}x\,\operatorname{sinh}^{2}y =\sin^{2}x\,(1+\operatorname{sinh}^{2}y) + \cos^{2}x\,\operatorname{sinh}^{2}y =\sin^{2}x + \operatorname{sinh}^{2}y.
Por definição de \operatorname{sinh} y, temos \operatorname{sinh} y = \tfrac{e^{y}-e^{-y}}{2}, logo
\lvert \sin z\rvert^{2} =\sin^{2}x + \Bigl(\tfrac{e^{y}-e^{-y}}{2}\Bigr)^{2}.

Resposta

\boxed{\lvert \sin z\rvert^{2} = \sin^{2}x + \Bigl(\tfrac{e^{y}-e^{-y}}{2}\Bigr)^{2}.}

Exercícios relacionados