Mostre que
\overline{\cos Z}=\cos \bar{Z}

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para todo número complexo Z, vale
\overline{\cos Z} = \cos\bigl(\overline Z\bigr).
O conteúdo envolvido é a definição exponencial da função cosseno e propriedades da conjugação de números complexos.

Passo 2

Lembramos a definição de cosseno em termos de exponenciais:
\cos Z = \frac{e^{iZ} + e^{-iZ}}{2}.

Passo 3

Aplicamos a conjugação na expressão de \cos Z:
\overline{\cos Z} = \overline{\frac{e^{iZ} + e^{-iZ}}{2}} = \frac{\overline{e^{iZ}} + \overline{e^{-iZ}}}{2}.

Passo 4

Usamos que, para todo complexo W, \overline{e^{W}} = e^{\overline W}, e que \overline{iZ} = -\,i\,\overline Z. Assim,
\overline{e^{iZ}} = e^{\overline{iZ}} = e^{-\,i\,\overline Z}, \quad \overline{e^{-iZ}} = e^{\overline{-iZ}} = e^{\,i\,\overline Z}.

Passo 5

Substituindo no resultado do passo anterior, obtemos
\overline{\cos Z} = \frac{e^{-\,i\,\overline Z} + e^{\,i\,\overline Z}}{2} = \cos\bigl(\overline Z\bigr).

Resposta

\overline{\cos Z} = \cos\bigl(\overline Z\bigr)

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