Mostre que:
\overline{z+\bar{z}} é um número real.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um número complexo z, a expressão \overline{z+\bar{z}} é real. Vamos usar as propriedades da conjugação de soma e o fato de que a conjugada da conjugada retorna o número original.

Passo 2

Aplicamos a propriedade distributiva da conjugação sobre soma:
\overline{z+\bar{z}} = \overline{z} + \overline{\bar{z}}.
Como sempre vale \overline{\bar{z}}=z, temos
\overline{z+\bar{z}} = \overline{z} + z.

Passo 3

Repare que
z + \overline{z} = 2\,\Re(z),
onde \Re(z) é a parte real de z. Portanto
\overline{z+\bar{z}} = 2\,\Re(z),
o que é manifestamente um número real.

Resposta

\overline{z+\bar{z}} = 2\,\Re(z), que pertence a \mathbb{R}.

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