Mostre que se
é um primo positivo então
é um número irracional. (sugestão: suponha que
, com
. Eleve ao quadrado, escreva
).
Passo 1
O que o problema pede: mostrar que, para todo primo positivo
, o número
é irracional.
Informações dadas e hipóteses que podemos usar: é primo e positivo. A sugestão diz para supor, por contradição, que
com
. Assim
e
são inteiros,
e estão na forma irredutível (sem fatores primos comuns).
Informações dadas e hipóteses que podemos usar:
Passo 2
Estratégia inicial (por contradição): suponho que
seja racional. Então existem inteiros
com
e
tais que
Agora elevo ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz.
Passo 3
Elevação ao quadrado: elevando
ao quadrado obtemos
Multiplicando ambos os lados por
(que é positivo e inteiro) chega-se à equação inteira
Esta equação é central: ela diz que
é múltiplo de
.
Passo 4
Conseqüência imediata: da igualdade
segue que
divide
. Agora precisamos usar uma propriedade básica de primos: se
é primo e
divide um produto
, então
divide
ou
divide
(lema de Euclides). Aplicando isso a
, como
divide
obrigatoriamente
divide
.
Explicação alternativa (mais elementar): na fatoração prima de
os expoentes dos primos aparecem; na fatoração de
cada expoente dobra. Se
divide
, o primo
aparece na fatoração de
com expoente
; isso só é possível se
já aparece em
, ou seja,
divide
.
Passo 5
Como
divide
, existe inteiro
tal que
Substituo isso na equação
:
Calculando o quadrado do lado esquerdo:
Dividindo ambos os lados por
(positivo), obtenho
Isso mostra que
também é múltiplo de
, logo
divide
.
Passo 6
Pelo mesmo argumento do Passo 4 (lema de Euclides ou fatoração prima), se
divide
então
divide
. Assim concluímos que
divide tanto
quanto
. Ou seja,
e
têm o primo
como divisor comum.
Passo 7
Contradição final: chegamos à conclusão de que
divide simultaneamente
e
, o que implica
. Isso contradiz a hipótese inicial de que
(que dizia que a fração
estava na forma irredutível). Portanto a suposição de que
é racional é falsa.
Conclusão:
não pode ser racional; logo
é irracional.