Mostre que se p é um primo positivo então \sqrt{p} é um número irracional. (sugestão: suponha que \sqrt{p}=m / n, com \operatorname{mdc}(m, n)=1. Eleve ao quadrado, escreva m^{2}=p n^{2} ).

Passo 1

O que o problema pede: mostrar que, para todo primo positivo p, o número \sqrt{p} é irracional.
Informações dadas e hipóteses que podemos usar: p é primo e positivo. A sugestão diz para supor, por contradição, que \sqrt{p} = m/n com \operatorname{mdc}(m,n)=1. Assim m e n são inteiros, n>0 e estão na forma irredutível (sem fatores primos comuns).

Passo 2

Estratégia inicial (por contradição): suponho que \sqrt{p} seja racional. Então existem inteiros m,n com n>0 e \operatorname{mdc}(m,n)=1 tais que
\sqrt{p}=\frac{m}{n}.
Agora elevo ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz.

Passo 3

Elevação ao quadrado: elevando \sqrt{p}=\dfrac{m}{n} ao quadrado obtemos
p=\frac{m^{2}}{n^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por n^{2} (que é positivo e inteiro) chega-se à equação inteira
m^{2}=p\,n^{2}.
Esta equação é central: ela diz que m^{2} é múltiplo de p.

Passo 4

Conseqüência imediata: da igualdade m^{2}=p\,n^{2} segue que p divide m^{2}. Agora precisamos usar uma propriedade básica de primos: se p é primo e p divide um produto ab, então p divide a ou p divide b (lema de Euclides). Aplicando isso a m^{2}=m\cdot m, como p divide m\cdot m obrigatoriamente p divide m.
Explicação alternativa (mais elementar): na fatoração prima de m os expoentes dos primos aparecem; na fatoração de m^{2} cada expoente dobra. Se p divide m^{2}, o primo p aparece na fatoração de m^{2} com expoente \ge 1; isso só é possível se p já aparece em m, ou seja, p divide m.

Passo 5

Como p divide m, existe inteiro k tal que
m=p k.
Substituo isso na equação m^{2}=p\,n^{2}:
(p k)^{2}=p\,n^{2}.
Calculando o quadrado do lado esquerdo:
p^{2}k^{2}=p\,n^{2}.
Dividindo ambos os lados por p (positivo), obtenho
p\,k^{2}=n^{2}.
Isso mostra que n^{2} também é múltiplo de p, logo p divide n^{2}.

Passo 6

Pelo mesmo argumento do Passo 4 (lema de Euclides ou fatoração prima), se p divide n^{2} então p divide n. Assim concluímos que p divide tanto m quanto n. Ou seja, m e n têm o primo p como divisor comum.

Passo 7

Contradição final: chegamos à conclusão de que p divide simultaneamente m e n, o que implica \operatorname{mdc}(m,n)\ge p>1. Isso contradiz a hipótese inicial de que \operatorname{mdc}(m,n)=1 (que dizia que a fração m/n estava na forma irredutível). Portanto a suposição de que \sqrt{p} é racional é falsa.
Conclusão: \sqrt{p} não pode ser racional; logo \sqrt{p} é irracional.

Resposta

\sqrt{p} é irracional.

Exercícios relacionados