Considere o n-ésimo número de Fermat \mathrm{f}_{n}=2^{2^{n}}+1.
(a) Mostre por indução que \mathrm{f}_{n}=\mathrm{f}_{0} \mathrm{f}_{1} \cdots \mathrm{f}_{n-1}+2
(b) Usando o item anterior, mostre o “Teorema de Golbach”: quaisquer dois números de Fermat são coprimos.
(sugestão: observe que se m<n então o item (a) diz que \mathrm{f}_{n}=\mathrm{f}_{0} \mathrm{f}_{1} \cdots \mathrm{f}_{m} \cdots \mathrm{f}_{n-1}+2. Agora suponha que d divide \mathrm{f}_{n} e \mathrm{f}_{m}, \ldots )
(c) Use o Teorema de Goldbach para provar que existem infinitos primos. { }^{2}

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (lista clara do que se pede e do que é dado):
  • Definição: os números de Fermat são \mathrm{f}_{n}=2^{2^{n}}+1 para n=0,1,2,\dots.
  • Pergunta (a): Mostrar por indução a identidade \mathrm{f}_{n}=\mathrm{f}_{0}\mathrm{f}_{1}\cdots\mathrm{f}_{n-1}+2.
  • Pergunta (b): Usando (a), provar que quaisquer dois números de Fermat são coprimos (isto é, \gcd(\mathrm{f}_{m},\mathrm{f}_{n})=1 para m\neq n).
  • Pergunta (c): Usar o resultado do item (b) para provar que existem infinitos números primos.
Informações úteis fornecidas no enunciado: a fórmula explícita \mathrm{f}_{n}=2^{2^{n}}+1 para todo n.

Passo 2

Preparação para a prova por indução do item (a): clareza sobre a proposição que vamos induzir.
  • Vamos provar por indução sobre n a proposição P(n): P(n):\qquad \mathrm{f}_{0}\mathrm{f}_{1}\cdots\mathrm{f}_{n-1}=2^{2^{n}}-1.
  • Observação: a identidade pedida no enunciado é equivalente a P(n), porque se \mathrm{f}_{0}\cdots\mathrm{f}_{n-1}=2^{2^{n}}-1, então somando 2 dos dois lados obtemos \mathrm{f}_{n}=2^{2^{n}}+1=\mathrm{f}_{0}\cdots\mathrm{f}_{n-1}+2.
  • Nota sobre produto vazio: para n=0 o produto \mathrm{f}_{0}\mathrm{f}_{1}\cdots\mathrm{f}_{-1} é o produto vazio, que por convensão vale 1. Essa convenção é útil e padrão em induções envolvendo produtos.

Passo 3

Base da indução para P(n).
  • Para n=0: o lado esquerdo é o produto vazio, que vale 1. O lado direito é 2^{2^{0}}-1=2^{1}-1=1. Logo P(0) é verdadeira.
  • Para segurança podemos verificar também n=1: \mathrm{f}_{0}=2^{2^{0}}+1=3 e 2^{2^{1}}-1=2^{2}-1=3, consistente com P(1).

Passo 4

Passo indutivo: suponha P(n) verdadeira e prove P(n+1).
  • Hipótese indutiva: suponha que \mathrm{f}_{0}\mathrm{f}_{1}\cdots\mathrm{f}_{n-1}=2^{2^{n}}-1.
  • Multiplicamos ambos os lados por \mathrm{f}_{n}. Lembrando que \mathrm{f}_{n}=2^{2^{n}}+1, temos \mathrm{f}_{0}\mathrm{f}_{1}\cdots\mathrm{f}_{n-1}\mathrm{f}_{n} =(2^{2^{n}}-1)(2^{2^{n}}+1).
  • Calcule o produto do lado direito: é uma diferença de quadrados: (2^{2^{n}}-1)(2^{2^{n}}+1)=2^{2^{n}\cdot 2}-1=2^{2^{n+1}}-1.(Aqui usamos (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2} com a=2^{2^{n}} e b=1.)
  • Conclusão do passo indutivo: obtivemos \mathrm{f}_{0}\mathrm{f}_{1}\cdots\mathrm{f}_{n} = 2^{2^{n+1}}-1,que é exatamente P(n+1). Assim a indução está completada.

Passo 5

Concluir (a) a partir de P(n).
  • Da igualdade provada por indução temos, para todo n, \mathrm{f}_{0}\mathrm{f}_{1}\cdots\mathrm{f}_{n-1}=2^{2^{n}}-1.
  • Somando 2 em ambos os lados: \mathrm{f}_{0}\mathrm{f}_{1}\cdots\mathrm{f}_{n-1}+2=2^{2^{n}}+1=\mathrm{f}_{n}.
  • Portanto mostramos a identidade pedida: \boxed{\mathrm{f}_{n}=\mathrm{f}_{0}\mathrm{f}_{1}\cdots\mathrm{f}_{n-1}+2.}

Passo 6

Preparação para o item (b): entender o que significa “quaisquer dois números de Fermat são coprimos” e estratégia.
  • “Coprimos” significa que o máximo divisor comum é 1: \gcd(\mathrm{f}_{m},\mathrm{f}_{n})=1 quando m\neq n.
  • Estratégia sugerida: suponha que um inteiro d>1 divide dois números de Fermat distintos e obter uma contradição usando a fórmula do item (a).

Passo 7

Prova do item (b): mostra que quaisquer dois Fermat \mathrm{f}_{m},\mathrm{f}_{n} são coprimos.
  • Sem perda de generalidade, suponha m<n.
  • Suponha que exista d>1 tal que d\mid \mathrm{f}_{m} e d\mid \mathrm{f}_{n}.
  • Pela fórmula do item (a) aplicada a n (observe que o produto \mathrm{f}_{0}\cdots\mathrm{f}_{n-1} contém o fator \mathrm{f}_{m} porque m<n), temos \mathrm{f}_{n}=\mathrm{f}_{0}\mathrm{f}_{1}\cdots\mathrm{f}_{m}\cdots\mathrm{f}_{n-1}+2.
  • Como d divide \mathrm{f}_{m}, então d divide o produto \mathrm{f}_{0}\mathrm{f}_{1}\cdots\mathrm{f}_{n-1}. Logo, reduzindo a expressão acima módulo d, 0\equiv \mathrm{f}_{n}\equiv 0+2 \pmod{d},isto é, 2\equiv 0 \pmod{d}.
  • Assim d divide 2, logo d\in\{1,2\}. Mas cada número de Fermat \mathrm{f}_{k}=2^{2^{k}}+1 é ímpar (pois 2^{2^{k}} é par e somando 1 dá ímpar), então 2 não pode dividir \mathrm{f}_{k}. Portanto d\neq 2. A única possibilidade restante é d=1.
  • Conclusão: não existe divisor comum maior que 1; portanto \boxed{\gcd(\mathrm{f}_{m},\mathrm{f}_{n})=1\\ \text{ para }m\neq n.}

Passo 8

Interpretação e pequena exemplificação (didática e conforto): por que isso é intuitivo?
  • Intuição: cada novo número de Fermat é obtido multiplicando todos os anteriores e somando 2. Então qualquer divisor comum com um anterior teria de dividir 2, mas os Fermat são todos ímpares — impossível. Logo cada Fermat traz “algo novo” em sua fatoração.
  • Exemplo numérico pequeno: \mathrm{f}_{0}=3,\\ \mathrm{f}_{1}=5,\\ \mathrm{f}_{2}=17,\\ \mathrm{f}_{3}=257. Observe que nenhum deles tem um divisor primo em comum com outro (todos primos nesses casos), o que casa com a prova geral.

Passo 9

Prova do item (c): usar (b) para mostrar que existem infinitos primos.
  • Lembrete: um número primo é um inteiro maior que 1 que só tem divisores 1 e ele próprio.
  • Cada inteiro maior que 1 tem uma fatoração em primos (teorema fundamental da aritmética). Assim cada \mathrm{f}_{n} tem pelo menos um divisor primo.
  • Pelo item (b), números de Fermat distintos são coprimos. Isso implica que se um primo p divide \mathrm{f}_{n}, então esse mesmo primo não pode dividir nenhum \mathrm{f}_{m} com m\neq n.
  • Portanto, para cada n podemos escolher um primo p_{n} que divide \mathrm{f}_{n}. Os primos p_{0},p_{1},p_{2},\dots são todos distintos (pois nenhum se repete dividindo dois Fermat diferentes).
  • Como existem infinitos índices n, obtemos uma infinidade de primos distintos p_{n}.
  • Conclusão: existem infinitos números primos.

Resposta

(a) \mathrm{f}_{n}=\mathrm{f}_{0}\mathrm{f}_{1}\cdots\mathrm{f}_{n-1}+2.\n
(b) \gcd(\mathrm{f}_{m},\mathrm{f}_{n})=1 para m\neq n.\n
(c) Existem infinitos primos.

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