Considere o
-ésimo número de Fermat
.
(a) Mostre por indução que
(b) Usando o item anterior, mostre o “Teorema de Golbach”: quaisquer dois números de Fermat são coprimos.
(sugestão: observe que se
então o item (a) diz que
. Agora suponha que
divide
e
)
(c) Use o Teorema de Goldbach para provar que existem infinitos primos.
(a) Mostre por indução que
(b) Usando o item anterior, mostre o “Teorema de Golbach”: quaisquer dois números de Fermat são coprimos.
(sugestão: observe que se
(c) Use o Teorema de Goldbach para provar que existem infinitos primos.
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (lista clara do que se pede e do que é dado):
- Definição: os números de Fermat são
para . - Pergunta (a): Mostrar por indução a identidade
- Pergunta (b): Usando (a), provar que quaisquer dois números de Fermat são coprimos (isto é,
para ). - Pergunta (c): Usar o resultado do item (b) para provar que existem infinitos números primos.
Informações úteis fornecidas no enunciado: a fórmula explícita
para todo
.
Passo 2
Preparação para a prova por indução do item (a): clareza sobre a proposição que vamos induzir.
- Vamos provar por indução sobre
a proposição : - Observação: a identidade pedida no enunciado é equivalente a
, porque se , então somando dos dois lados obtemos . - Nota sobre produto vazio: para
o produto é o produto vazio, que por convensão vale . Essa convenção é útil e padrão em induções envolvendo produtos.
Passo 3
Base da indução para
.
- Para
: o lado esquerdo é o produto vazio, que vale . O lado direito é . Logo é verdadeira. - Para segurança podemos verificar também
: e , consistente com .
Passo 4
Passo indutivo: suponha
verdadeira e prove
.
- Hipótese indutiva: suponha que
- Multiplicamos ambos os lados por
. Lembrando que , temos - Calcule o produto do lado direito: é uma diferença de quadrados:
(Aqui usamos com e .) - Conclusão do passo indutivo: obtivemos
que é exatamente . Assim a indução está completada.
Passo 5
Concluir (a) a partir de
.
- Da igualdade provada por indução temos, para todo
, - Somando
em ambos os lados: - Portanto mostramos a identidade pedida:
Passo 6
Preparação para o item (b): entender o que significa “quaisquer dois números de Fermat são coprimos” e estratégia.
- “Coprimos” significa que o máximo divisor comum é
: quando . - Estratégia sugerida: suponha que um inteiro
divide dois números de Fermat distintos e obter uma contradição usando a fórmula do item (a).
Passo 7
Prova do item (b): mostra que quaisquer dois Fermat
são coprimos.
- Sem perda de generalidade, suponha
. - Suponha que exista
tal que e . - Pela fórmula do item (a) aplicada a
(observe que o produto contém o fator porque ), temos - Como
divide , então divide o produto . Logo, reduzindo a expressão acima módulo , isto é, - Assim
divide , logo . Mas cada número de Fermat é ímpar (pois é par e somando dá ímpar), então não pode dividir . Portanto . A única possibilidade restante é . - Conclusão: não existe divisor comum maior que
; portanto
Passo 8
Interpretação e pequena exemplificação (didática e conforto): por que isso é intuitivo?
- Intuição: cada novo número de Fermat é obtido multiplicando todos os anteriores e somando
. Então qualquer divisor comum com um anterior teria de dividir , mas os Fermat são todos ímpares — impossível. Logo cada Fermat traz “algo novo” em sua fatoração. - Exemplo numérico pequeno:
. Observe que nenhum deles tem um divisor primo em comum com outro (todos primos nesses casos), o que casa com a prova geral.
Passo 9
Prova do item (c): usar (b) para mostrar que existem infinitos primos.
- Lembrete: um número primo é um inteiro maior que
que só tem divisores e ele próprio. - Cada inteiro maior que
tem uma fatoração em primos (teorema fundamental da aritmética). Assim cada tem pelo menos um divisor primo. - Pelo item (b), números de Fermat distintos são coprimos. Isso implica que se um primo
divide , então esse mesmo primo não pode dividir nenhum com . - Portanto, para cada
podemos escolher um primo que divide . Os primos são todos distintos (pois nenhum se repete dividindo dois Fermat diferentes). - Como existem infinitos índices
, obtemos uma infinidade de primos distintos . - Conclusão: existem infinitos números primos.
Resposta
(a)
\n
(b) para
.\n
(c) Existem infinitos primos.
(b)
(c) Existem infinitos primos.