- (um caso particular do Teorema de Dirichlet sobre primos em progressões aritméticas)
Mostre que existem infinitos primos da forma
, com
.
Para isso,
(a) Mostre que todo primo ímpar é da forma
ou
;
(b) Investigue o que ocorre quando se multiplica
(i) números da forma
,
(ii) números da forma
.
(c) Agora suponha, por contradição, que existe apenas um número finito de primos da forma
e faça uma adaptação da demonstração de Euclides para a existência de infinitos primos.
Para isso,
(a) Mostre que todo primo ímpar é da forma
(b) Investigue o que ocorre quando se multiplica
(i) números da forma
(ii) números da forma
(c) Agora suponha, por contradição, que existe apenas um número finito de primos da forma
Passo 1
O problema pede para mostrar que existem infinitos primos da forma
com
. Ele traz três itens a resolver: \n
(a) provar que todo primo ímpar é da forma ou
; \n
(b) estudar o que acontece quando se multiplicam números da forma
e
; \n
(c) supondo, por contradição, que haja apenas um número finito de primos da forma , adaptar a ideia da prova de Euclides para obter uma contradição e concluir que existem infinitos primos dessa forma. \n
As informações relevantes que temos são: definções das formas e
, a existência de primos (pelo menos o
), e a liberdade para construir um número à maneira de Euclides (produto dos primos considerados mais ou menos alguma constante) para forçar uma contradição.
(a) provar que todo primo ímpar é da forma
(b) estudar o que acontece quando se multiplicam números da forma
(c) supondo, por contradição, que haja apenas um número finito de primos da forma
As informações relevantes que temos são: definções das formas
Passo 2
(a) Vamos mostrar que todo primo ímpar é congruente a
ou a
módulo
. Primeiro, explique rapidinho o que significa isso: dizer que um número
é congruente a
módulo
significa que
deixa resto
na divisão por
, ou seja, existe inteiro
tal que
com
. Isso vem do algoritmo da divisão (ou das classes residuais mod
). Agora, se
é um primo ímpar, então
não é divisível por
. Os restos possíveis ao dividir por
são
. Se
tivesse resto
então
, impossível para primo
. Se
tivesse resto
então
, o que o tornaria par, contradizendo que é ímpar. Logo os únicos restos possíveis para um primo ímpar são
e
. Portanto todo primo ímpar é da forma
ou
. Exemplo rápido:
,
,
,
,
.
Passo 3
(b)(i) Agora veja o que ocorre ao multiplicar dois números da forma
e
. Faça a conta direta e veja o padrão:
Agrupando os termos com fator
,
Assim o produto é da forma
com
. Conclusão: o conjunto dos inteiros congruentes a
módulo
é fechado sob multiplicação — isto é, produto de números da forma
dá sempre
. Exemplo:
e
.
Passo 4
(b)(ii) Multiplique dois números da forma
e
. Calcule:
Escreva
e agrupe fatores de
:
Portanto o produto de dois números da forma
é da forma
. Em palavras:
vezes
vale
. Além disso, se multiplicarmos um número
por um
obtemos
isto é,
vezes
dá
. De forma geral, a classe multiplicativa módulo
funciona como multiplicação de restos:
,
,
. Consequência útil: um produto terá resto
módulo
se e somente se ele contém um número ímpar de fatores congruentes a
módulo
.
Passo 5
(c) Agora a prova por contradição, no estilo de Euclides, com a adaptação adequada. Suponha que existam apenas finitamente muitos primos congruentes a
módulo
; chame-os de
cada
satisfazendo
. Considere o produto
e construa o número
Observações importantes e por que fizemos essa escolha:
, então
é da forma
. Além disso
(porque
), então
tem pelo menos um divisor primo. Vamos estudar os primos que dividem
.
Passo 6
Mostramos primeiro que nenhum dos
divide
. Para cada
,
porque
divide
. Assim
, logo nenhum
divide
. Portanto todos os primos que dividem
são primos distintos da lista
.
Passo 7
Agora, considere a fatoração em primos de
. Seja
a decomposição em primos (existe sempre tal decomposição por aritmética elemental). Cada
é um primo diferente dos
. Vamos analisar os restos desses
modulo
. Como
, o produto
é congruente a
módulo
. Mas, pelo item (b), qualquer fator primo congruente a
módulo
não altera o sinal de ser
ou
módulo
quando aparece um número par de fatores
; de modo prático: o produto será
se houver um número par (incluindo zero) de primos congruentes a
módulo
na fatoração, e será
se houver um número ímpar desses primos. Como o produto total é
, necessariamente há um número ímpar (portanto pelo menos um) de primos
com
.
Passo 8
Portanto existe pelo menos um primo divisor
de
tal que
. Mas já mostramos que nenhum dos
divide
, então esse
não pertence à lista finita
. Isso contradiz a hipótese inicial de que listamos todos os primos da forma
. Conclusão: a hipótese de finitude é falsa, logo existem infinitos primos congruentes a
módulo
, isto é, existem infinitos primos da forma
.
Resposta
(a) Todo primo ímpar é da forma
ou
.\n
(b)(i) O produto de números da forma é da forma
.\n
(b)(ii) O produto de dois números da forma é da forma
; multiplicar um
por um
dá
. Em geral, um produto é
se e só se contém um número ímpar de fatores
.\n
(c) Existem infinitos primos da forma .
(b)(i) O produto de números da forma
(b)(ii) O produto de dois números da forma
(c) Existem infinitos primos da forma