• (um caso particular do Teorema de Dirichlet sobre primos em progressões aritméticas)
Mostre que existem infinitos primos da forma 4 n+3, com n \in \mathbb{Z}.
Para isso,
(a) Mostre que todo primo ímpar é da forma 4 n+1 ou 4 n+3;
(b) Investigue o que ocorre quando se multiplica
(i) números da forma 4 n+1,
(ii) números da forma 4 n+3.
(c) Agora suponha, por contradição, que existe apenas um número finito de primos da forma 4 n+3 e faça uma adaptação da demonstração de Euclides para a existência de infinitos primos.

Passo 1

O problema pede para mostrar que existem infinitos primos da forma 4n+3 com n\in\mathbb{Z}. Ele traz três itens a resolver: \n
(a) provar que todo primo ímpar é da forma 4n+1 ou 4n+3; \n
(b) estudar o que acontece quando se multiplicam números da forma (i) 4n+1 e (ii) 4n+3; \n
(c) supondo, por contradição, que haja apenas um número finito de primos da forma 4n+3, adaptar a ideia da prova de Euclides para obter uma contradição e concluir que existem infinitos primos dessa forma. \n
As informações relevantes que temos são: definções das formas 4n+1 e 4n+3, a existência de primos (pelo menos o 2), e a liberdade para construir um número à maneira de Euclides (produto dos primos considerados mais ou menos alguma constante) para forçar uma contradição.

Passo 2

(a) Vamos mostrar que todo primo ímpar é congruente a 1 ou a 3 módulo 4. Primeiro, explique rapidinho o que significa isso: dizer que um número a é congruente a r módulo 4 significa que a deixa resto r na divisão por 4, ou seja, existe inteiro q tal que
a = 4q + r
com r\in\{0,1,2,3\}. Isso vem do algoritmo da divisão (ou das classes residuais mod 4). Agora, se p é um primo ímpar, então p não é divisível por 2. Os restos possíveis ao dividir por 4 são 0,1,2,3. Se p tivesse resto 0 então 4\mid p, impossível para primo >4. Se p tivesse resto 2 então 2\mid p, o que o tornaria par, contradizendo que é ímpar. Logo os únicos restos possíveis para um primo ímpar são 1 e 3. Portanto todo primo ímpar é da forma \,4n+1 ou \,4n+3. Exemplo rápido: 3\equiv3\pmod{4}, 5\equiv1\pmod{4}, 7\equiv3\pmod{4}, 11\equiv3\pmod{4}, 13\equiv1\pmod{4}.

Passo 3

(b)(i) Agora veja o que ocorre ao multiplicar dois números da forma \,4a+1 e \,4b+1. Faça a conta direta e veja o padrão:
(4a+1)(4b+1) = 16ab + 4a + 4b + 1.
Agrupando os termos com fator 4,
16ab + 4a + 4b + 1 = 4(4ab + a + b) + 1.
Assim o produto é da forma \,4k+1 com k=4ab+a+b\in\mathbb{Z}. Conclusão: o conjunto dos inteiros congruentes a 1 módulo 4 é fechado sob multiplicação — isto é, produto de números da forma \,4n+1 dá sempre \,4n+1. Exemplo: (5)(13)=65 e 65=4\cdot16+1.

Passo 4

(b)(ii) Multiplique dois números da forma \,4a+3 e \,4b+3. Calcule:
(4a+3)(4b+3) = 16ab + 12a + 12b + 9.
Escreva 9=4\cdot2+1 e agrupe fatores de 4:
16ab + 12a + 12b + 9 = 4(4ab + 3a + 3b + 2) + 1.
Portanto o produto de dois números da forma \,4n+3 é da forma \,4k+1. Em palavras: \,3\pmod{4} vezes \,3\pmod{4} vale \,1\pmod{4}. Além disso, se multiplicarmos um número \,4n+1 por um \,4m+3 obtemos
(4n+1)(4m+3)=4(\text{algo})+3,
isto é, 1\pmod{4} vezes 3\pmod{4} 3\pmod{4}. De forma geral, a classe multiplicativa módulo 4 funciona como multiplicação de restos: 1\cdot1\equiv1, 3\cdot3\equiv1, 1\cdot3\equiv3. Consequência útil: um produto terá resto 3 módulo 4 se e somente se ele contém um número ímpar de fatores congruentes a 3 módulo 4.

Passo 5

(c) Agora a prova por contradição, no estilo de Euclides, com a adaptação adequada. Suponha que existam apenas finitamente muitos primos congruentes a 3 módulo 4; chame-os de
p_1,p_2,\dots,p_k,
cada p_i satisfazendo p_i\equiv3\pmod{4}. Considere o produto
P = p_1 p_2\cdots p_k
e construa o número
N = 4P - 1.
Observações importantes e por que fizemos essa escolha: \,N\equiv -1\equiv3\pmod{4}, então N é da forma \,4n+3. Além disso N>1 (porque P\ge p_1\ge3), então N tem pelo menos um divisor primo. Vamos estudar os primos que dividem N.

Passo 6

Mostramos primeiro que nenhum dos p_i divide N. Para cada i,
N = 4P - 1 \equiv 4\cdot 0 - 1 \equiv -1 \pmod{p_i},
porque p_i divide P. Assim N\not\equiv0\pmod{p_i}, logo nenhum p_i divide N. Portanto todos os primos que dividem N são primos distintos da lista \{p_1,\dots,p_k\}.

Passo 7

Agora, considere a fatoração em primos de N. Seja
N = q_1^{\alpha_1} q_2^{\alpha_2}\cdots q_m^{\alpha_m}
a decomposição em primos (existe sempre tal decomposição por aritmética elemental). Cada q_j é um primo diferente dos p_i. Vamos analisar os restos desses q_j modulo 4. Como N\equiv3\pmod{4}, o produto
q_1^{\alpha_1} q_2^{\alpha_2}\cdots q_m^{\alpha_m}
é congruente a 3 módulo 4. Mas, pelo item (b), qualquer fator primo congruente a 1 módulo 4 não altera o sinal de ser 1 ou 3 módulo 4 quando aparece um número par de fatores 3\pmod{4}; de modo prático: o produto será 1\pmod{4} se houver um número par (incluindo zero) de primos congruentes a 3 módulo 4 na fatoração, e será 3\pmod{4} se houver um número ímpar desses primos. Como o produto total é 3\pmod{4}, necessariamente há um número ímpar (portanto pelo menos um) de primos q_j com q_j\equiv3\pmod{4}.

Passo 8

Portanto existe pelo menos um primo divisor q de N tal que q\equiv3\pmod{4}. Mas já mostramos que nenhum dos p_i divide N, então esse q não pertence à lista finita p_1,\dots,p_k. Isso contradiz a hipótese inicial de que listamos todos os primos da forma \,4n+3. Conclusão: a hipótese de finitude é falsa, logo existem infinitos primos congruentes a 3 módulo 4, isto é, existem infinitos primos da forma \,4n+3.

Resposta

(a) Todo primo ímpar é da forma \,4n+1 ou \,4n+3.\n
(b)(i) O produto de números da forma \,4n+1 é da forma \,4n+1.\n
(b)(ii) O produto de dois números da forma \,4n+3 é da forma \,4n+1; multiplicar um \,4n+1 por um \,4m+3 \,4k+3. Em geral, um produto é \,3\pmod{4} se e só se contém um número ímpar de fatores \,3\pmod{4}.\n
(c) Existem infinitos primos da forma \,4n+3.

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