Mostre que S=1,1-x, 1+x^2 é uma base de P2;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
S=,1,;1-x,;1+x^2
é uma base do espaço dos polinômios de grau ≤2, denotado por P2.
Sabemos que dim(P2)=3 e que um subconjunto de 3 vetores em um espaço de dimensão 3 é base se, e somente se, for linearmente independente (ou então, se gerar todo o espaço).

Passo 2

Vamos verificar a independência linear. Suponha que existam escalares
Expandindo em potências de , temos
Igualando coeficientes de cada termo:
Logo é linearmente independente.

Passo 3

Para mostrar que
Procuramos tais que
Expandindo,
Igualando coeficientes:
Dessa forma qualquer , e , logo .

Passo 4

Como S tem 3 vetores, é linearmente independente e gera P2, concluímos que S é uma base de P2.

Resposta

S=1,,1-x,,1+x^2 é uma base de P2.

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