Verifique se os polinômios p1=1+x, p2=x+x^2 e p3=x^2+x^3 são L.I ou L.D. Exprima o polinômio 2 x^2-5 x+6 como combinação linear dos polinômios p1, p2 e p3.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Verificar se os polinômios
    p1(x)=1+x,;p2(x)=x+x^2,;p3(x)=x^2+x^3
    são linearmente independentes (L.I.) ou dependentes (L.D.).
  2. Tentar escrever o polinômio ,2x^2-5x+6 como combinação linear de p1,p2,p3.
    O conteúdo usado será a definição de independência linear e comparação de coeficientes ao impor
a,p1(x)+b,p2(x)+c,p3(x)=2x^2-5x+6

Passo 2

Para testar independência linear, montamos
Expandindo:
Comparando coeficientes com o polinômio nulo
Da primeira equação . Da terceira . E a quarta já confirma .
Logo a única solução é , o que mostra que são linearmente independentes.

Passo 3

Agora tentamos
a,p1(x)+b,p2(x)+c,p3(x)=2x^2-5x+6
Expandindo o lado esquerdo:
a(1+x)+b(x+x^2)+c(x^2+x^3) =a + (a+b)x + (b+c)x^2 + c,x^3
Para igualar a 2x^2-5x+6, cujos coeficientes são constante 6, de x é -5, de x^2 é 2 e de x^3 é 0, obtemos o sistema
a=6, a+b=-5, b+c=2, c=0

Passo 4

Resolvendo:
  • Da quarta equação c=0.
  • Da terceira b=2-c=2.
  • Da segunda a=-5-b=-5-2=-7.
  • Mas da primeira exige a=6, o que contraria a=-7.
    O sistema é inconsistente, logo não existe combinação linear de p1,p2,p3 que produza 2x^2-5x+6.

Resposta

Os polinômios p1,p2,p3 são linearmente independentes e não é possível escrever 2x^2-5x+6 como combinação linear deles.

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