Verifique se os polinômios e são L.I ou L.D. Exprima o polinômio como combinação linear dos polinômios e .
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Verificar se os polinômios
são linearmente independentes (L.I.) ou dependentes (L.D.).
Tentar escrever o polinômio como combinação linear de .
O conteúdo usado será a definição de independência linear e comparação de coeficientes ao impor
Passo 2
Para testar independência linear, montamos
Expandindo:
Comparando coeficientes com o polinômio nulo
Da primeira equação . Da terceira . E a quarta já confirma .
Logo a única solução é , o que mostra que são linearmente independentes.
Passo 3
Agora tentamos
Expandindo o lado esquerdo:
Para igualar a , cujos coeficientes são constante , de é , de é e de é , obtemos o sistema
Passo 4
Resolvendo:
Da quarta equação c=0.
Da terceira b=2-c=2.
Da segunda a=-5-b=-5-2=-7.
Mas da primeira exige a=6, o que contraria a=-7.
O sistema é inconsistente, logo não existe combinação linear de p1,p2,p3 que produza 2x^2-5x+6.
Resposta
Os polinômios p1,p2,p3 são linearmente independentes e não é possível escrever 2x^2-5x+6 como combinação linear deles.