Mostre que o conjunto é um subespaço vetorial de e que .
Passo 1
O enunciado diz respeito ao espaço vetorial (polinômios de grau ≤3). Definimos como o subespaço gerado pelos polinômios , e . Vamos usar a definição de subespaço (fechado sob soma e escalar) e conceitos de independência linear e dimensão para concluir que .
Passo 2
Qualquer conjunto de polinômios e o seu span formam um subespaço. Em particular, é automaticamente fechado sob soma e multiplicação por escalar, logo é subespaço vetorial de .
Observe que cada gerador de tem grau no máximo 2. Assim , pois toda combinação linear de polinômios de grau ≤2 também tem grau ≤2.
Passo 3
Para ver que
Igualando coeficientes em cada potência de temos o sistema:
Da terceira equação vem e da primeira . Como a única solução é trivial, os polinômios são independentes e então .
Passo 4
Sabemos também que dim P2=3 e temos Wsubseteq P2 com mesmas dimensões. Pelo teorema da dimensão de subespaços, W=P2.
Resposta
W é um subespaço de P_{3} e coincide com P_{2}, isto é, W=P_{2}.