Mostre que o conjunto W=1,1+x, x+x^2 é um subespaço vetorial de P3 e que W=P2.

Passo 1

O enunciado diz respeito ao espaço vetorial P3 (polinômios de grau ≤3). Definimos W como o subespaço gerado pelos polinômios 1, 1+x e x+x^2. Vamos usar a definição de subespaço (fechado sob soma e escalar) e conceitos de independência linear e dimensão para concluir que W=P2.

Passo 2

Qualquer conjunto de polinômios e o seu span formam um subespaço. Em particular, W=Span1,,1+x,,x+x^2 é automaticamente fechado sob soma e multiplicação por escalar, logo W é subespaço vetorial de P3.
Observe que cada gerador de W tem grau no máximo 2. Assim Wsubseteq P2, pois toda combinação linear de polinômios de grau ≤2 também tem grau ≤2.

Passo 3

Para ver que
Igualando coeficientes em cada potência de temos o sistema:
Da terceira equação vem e da primeira . Como a única solução é trivial, os polinômios são independentes e então .

Passo 4

Sabemos também que dim P2=3 e temos Wsubseteq P2 com mesmas dimensões. Pelo teorema da dimensão de subespaços, W=P2.

Resposta

W é um subespaço de P_{3} e coincide com P_{2}, isto é, W=P_{2}.

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