Mostre que, para uma pá em formato de uma reta (RET),
e
se relacionam de acordo com a seguinte expressão:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, numa pá reta (denotada RET) que passe pelo ponto
de coordenadas
e faça um ângulo
com a direção tangencial ali, o mesmo feixe de pá passará pelo ponto
de coordenadas
e formará um ângulo
com a tangente, de modo que
Para resolver, vamos usar a representação de uma reta em coordenadas polares e a definição de
como o ângulo entre a reta e o vetor unitário tangencial em cada raio.
Passo 2
Em coordenadas polares
, uma reta que em
intercepta o raio
com ângulo
em relação à tangente satisfaz
Explicação rápida: o lado esquerdo é a projeção do vetor posição
sobre a direção normal à reta, e como a reta é fixa, essa projeção é constante e igual àquela em
.
Passo 3
Em qualquer ponto
dessa reta, o ângulo
que a reta faz com a tangente local satisfaz
pois, à medida que
varia de
para
, a tangente gira de
para
, e o ângulo da reta em relação à tangente muda de
para
.
Passo 4
Agora specialize as fórmulas do Passo
e do Passo
ao ponto
, onde
. Da projeção constante obtemos
Mas a definição de
dá
(pois o cosseno é par). Portanto, dividindo a relação acima por
, resulta