Mostre que, para uma pá em formato de uma reta (RET), beta4, beta5, r4 e r5 se relacionam de acordo com a seguinte expressão: cos beta5=(r4 / r5) cos beta4.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, numa pá reta (denotada RET) que passe pelo ponto 4 de coordenadas (r4,theta4) e faça um ângulo beta4 com a direção tangencial ali, o mesmo feixe de pá passará pelo ponto 5 de coordenadas (r5,theta5) e formará um ângulo beta5 com a tangente, de modo que
cosbeta5 ;=;r4r5;cosbeta4
Para resolver, vamos usar a representação de uma reta em coordenadas polares e a definição de beta como o ângulo entre a reta e o vetor unitário tangencial em cada raio.

Passo 2

Em coordenadas polares (r,theta), uma reta que em theta=theta4 intercepta o raio r4 com ângulo beta4 em relação à tangente satisfaz
r,cosl(beta4 - (theta-theta4)r);=;r4,cosbeta4
Explicação rápida: o lado esquerdo é a projeção do vetor posição (r,theta) sobre a direção normal à reta, e como a reta é fixa, essa projeção é constante e igual àquela em (r4,theta4).

Passo 3

Em qualquer ponto (r,theta) dessa reta, o ângulo beta que a reta faz com a tangente local satisfaz
cosbeta ;=;cosl(beta4 - (theta4-theta)r),
pois, à medida que theta varia de theta4 para theta, a tangente gira de theta4 para theta, e o ângulo da reta em relação à tangente muda de beta4 para beta4-(theta4-theta).

Passo 4

Agora specialize as fórmulas do Passo 2 e do Passo 3 ao ponto 5, onde (r,theta)=(r5,theta5). Da projeção constante obtemos
r5,cosl(beta4 - (theta5-theta4)r) ;=; r4,cosbeta4
Mas a definição de beta5
cosbeta5 = cosl(beta4 - (theta4-theta5)r) = cosl(beta4 - (theta5-theta4)r)
(pois o cosseno é par). Portanto, dividindo a relação acima por r5, resulta
cosbeta5 = r4r5 ;cosbeta4

Resposta

boxedcosbeta5 =r4r5;cosbeta4

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